1.2.2 同角三角函数的基本关系式
2015-4-15 星期三第2节 二（2）班 李厚鹏
一、教学目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式； 2.掌握三种基本关系式之间的联系；
3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
二、教学重点：三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。 三、教学过程： （一）复习：
1．任意角的三角函数定义：
设角?是一个任意角，?终边上任意一点P(x,y)， 它与原点的距离为r(r?|x|2?|y|2?x2?y2?0)，那么：
xryxyrsin??，cos??，tan??，cot??，sec??，csc??．
yyrrxx（二）新课讲解：
1．同角三角函数关系式：
（1）倒数关系：sin??csc??1，cos??sec??1，tan??cot??1．
sin?cos?（2）商数关系：． ?tan?，cot??cos?sin?（3）平方关系：sin2??cos2??1，1?tan2??sec2?，1?cot2??csc2?． 说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24??cos24??1等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
k?tan??cot??1(??,k?Z)；
2③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），
如：
sin?等。 cos???1?sin2?， sin2??1?cos2?， cos??tan?2．例题分析：
12例1 （1）已知sin??，并且?是第二象限角，求cos?,tan?,cot?．
134（2）已知cos???，求sin?,tan?．
5125解：（1）∵sin2??cos2??1， ∴cos2??1?sin2??1?()2?()2，
13135又∵?是第二象限角，∴cos??0，即有cos???，从而
13sin?1215tan????， cot????．
cos?5tan?1243（2）∵sin2??cos2??1， ∴sin2??1?cos2??1?(?)2?()2，
554又∵cos????0， ∴?在第二或三象限角。
53sin?3当?在第二象限时，即有sin??0，从而sin??，tan????；
5cos?43sin?3当?在第四象限时，即有sin??0，从而sin???，tan???．
5cos?4总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置； ②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2 已知tan?为非零实数，用tan?表示sin?,cos?．
sin?解：∵sin2??cos2??1，tan??，
cos?1∴(cos??tan?)2?cos2??cos2?(1?tan2?)?1，即有cos2??， 21?tan?又∵tan?为非零实数，∴?为象限角。
11?tan2?当?在第一、四象限时，即有cos??0，从而cos??， ?221?tan?1?tan?tan?1?tan2? sin??tan??cos??； 21?tan?211?tan?，当?在第二、三象限时，即有cos??0，从而cos??? ??221?tan?1?tan?tan?1?tan2? sin??tan??cos???． 21?tan?例3 已知cot??m（m?0），求cos?
cos?cos?解： ∵cot??， 即sin??， 又∵sin2??cos2??1，
sin?cot?cos2?11222?cos??cos?(1?)?1∴，即cos?(1?)?1222cot?cot?mm22cos??，
1?m2又∵m?0，∴?为象限角。
2m当?在第一、四象限时，即有cos??0，cos??； 2m?1，
2m当?在第二、三象限时，即有cos??0，cos???2．
m?13．总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）； ②根据同角三角函数的关系式求值。 四、课堂练习：
五、小结：1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。 如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；
若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。
六、作业： 习题 第1题，第2题，第3题。
同角三角函数基本关系式教案
