【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求直线的解析式、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．
25．（10分）（2017?天津）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'． ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值． 【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得
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到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值． 【解答】解：
（1）∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）， ∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3， ∵点P′与P关于原点对称， ∴P′（﹣m，﹣t）， ∵点P′落在抛物线上，
∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3， ∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m= 或m=﹣ ； ②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限， ∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴﹣4≤t＜0， ∵P在抛物线上， ∴t=m2﹣2m﹣3， ∴m2﹣2m=t+3，
∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），
∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；
∴当t=﹣时，P′A2有最小值，
∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=或m=，
∵m＞0，
∴m=不合题意，舍去，
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∴m的值为．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的
性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用t表示出P′A2是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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2017年天津市中考数学试卷(含答案解析版)
