空间向量的夹角、距离计算同步练习题
一、选择题
1.已知A(2，-5,1)，B(2，-2,4)，C(1，-4,1)，则直线AC与AB的夹角为（ C ） A.30
0
B.45
0
C.60
0
D.90
0
2.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为( ) A．0° B．45°C．90° D．180°
解析：选C.已知a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则cos〈a，b〉＝0，从而得出a与b的夹角为90°. 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a=（0,2,1），b=（，，），那么这条直线与平面的夹角为( D ) A. 90 B. 60
0
0
C.45 D. 30
00
4. 边长为a的正六边形ABCDEF所在平面为α，PA⊥α且PA＝a，则PC与α所成的角为( A ) A. 30° B. 60° C. 45° D. 90°
5．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( ) A.
6303
a B.a C.a 664
D.6
a 3
1??解析： 以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a，则A1(a,0，a)，A(a,0,0)，M?a，0，a?，B(a，a,0)，2??→→→?→??DM?D(0,0,0)，设n＝(x，y，z)为平面BMD的法向量，则n·BM＝0，且n·DM＝0，而BM＝?0，－a，a?，＝?a，0，a?. 22
1
1
????
??
所以?1
x＋z＝0，??2
1
－y＋z＝0，
2
??所以?1
x＝－z，??2
y＝z，
12
→
令z＝2，则n＝(－1,1,2)，DA1＝(a,0，a)，则A1到平面
→
|DA1·n|6
BDM的距离是d＝＝a.答案： A
|n|6
6. 已知向量n=（1,0，-1）与平面α垂直，且α经过点A（2,3,1），则点P（4,3,2）到α的距离为( B ) A. 1 B. C.
D. 2
7. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为（ A ） A. B. C. D.
8．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60° C．30° D．60°或30°
解析：选C.由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
9．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于( ) A．45° B．30° C．90° D．60°
解析：选D.以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图
1→→→→→→
略)，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，∴AC＝(－1,1,0)，BF＝(1,0,1)．∴cos〈AC，BF〉＝－.∴〈AC，BF〉
2
1
＝120°.∴AC与BF所成的角为60°.
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
37037070
A．0 B. C．－ D.
707070
解析：
选A.建立如图坐标系，则D1(0,0，3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)， →
∴BD1＝(－2，－2,3)，
→→BD1·AC→→→→→
AC＝(－2,2,0)．∴cos〈BD1，AC〉＝＝0.∴〈BD1，AC〉＝90°，其余弦值为0.
→→|BD1||AC|
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
10101515
A．－ B. C．－ D.
5555
解析：选B.
→
建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．∴BD＝(－2，
→→
－2,0)，BB1＝(0,0,2)，BE＝(－2,0,1)．
???－2x－2y＝0，?x＝－y，→→
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．∵n⊥BD，n⊥BB1，∴?∴?
?2z＝0.?z＝0.??
→n·BE10→
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．∴cos〈n，BE〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sin θ＝
→5|n||BE|
10→
|cos〈n，BE〉|＝.
5
uuuruuuur12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为 ( )
1422A. B.5 C.5 D. 9993
uuur解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知CMuuuur＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，
uuuruuuuruuuuruuur145cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝.
9
9
答案：B 二、填空题
13. 已知a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a1在a上，向量b1在b上，a1＝(1,0,1)，
2
b1＝(－1,2,1)，则α，β所成二面角的大小为__ 90°______．
14. 正三角形PAB与正方形ABCD所在平面互相垂直，正方形的边长为a，则点D到直线PB的距离是__
7a ___． 2
15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
－11π2π
解析：设u＝(1,0，－1)，v＝(0，－1,1)，则cos θ＝±|cos〈u，v〉|＝±||＝±.∴θ＝或.
2332×2π2π
答案：或
33
16．已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点．则直线A′C与DE所成角的余弦值为________． 解析：
→?a?→
如图所示建立空间直角坐标系，则A′(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E?a，，0?，A′C＝(a，a，－a)，DE?2?
→→
a?A′C·DE1515→→?＝?a，－，0?，∴cos〈A′C，DE〉＝＝.答案： 2?→→1515?|A′C|·|DE|
三、解答题
17．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．
解：
设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)， →
则AE＝(－1,0,2)，
→→→
CF＝(1，－1,2)，∴|AE|＝5，|CF|＝6.
30→→→→→→→→→→→→
AE·CF＝－1＋0＋4＝3.又AE·CF＝|AE||CF|cos〈AE，CF〉＝30cos〈AE，CF〉，∴cos〈AE，CF〉＝，
1030. 10
18．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为a，E、F、G分别是CC1、A1D1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离． ∴所求角的余弦值为
解析： 如图建立空间直角坐标系，
3
a??aa?→?a???a?则A(a,0,0)，E?0，a，?，F?，0，a?，G?a，，0?，∴EF＝?，－a，?， 2??22????2??2
→
aa??EG＝?a，－，－?，
?
2
2?
→?n·EF＝0?→??GA＝?0，－，0?，设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则?2??→??n·EG＝0
a?x－2y＋z＝0?
∴???2x－y－z＝0
，
→
|GA·n|23
，∴x＝y＝z，可取n＝(1,1,1)，∴d＝＝＝a.
|n|36
3
a. 6
a即点A到平面EFG的距离为19. 正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． (1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A-A1D-B的余弦值．
→→→
解析： (1)取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，OB、OO1、OA的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)， →→→
∴ AB1＝(1,2，－3)，BD＝(－2,1,0)，BA1＝(－1,2，3)． →→
∵ AB1·BD＝－2＋2＋0＝0，
AB1·BA1＝－1＋4－3＝0，∴ AB1⊥BD，AB1⊥BA1.∴ AB1⊥平面A1BD；
(2)设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，
→
→→→→→→
AD＝(－1,1，－3)，AA1＝(0,2,0)．∵ n⊥AD，n⊥AA1，
→→→
→??n·AD＝0，
∴ ?
→??n·AA1＝0.
?－x＋y－3z＝0，
∴ ?
?2y＝0.
?y＝0，∴ ?
?x＝－3z.
令z＝1，得n＝(－3，0,1)为平面A1AD的一个法向量．由(1)知AB1⊥平面A1BD， －3－36
∴ AB1为平面A1BD的法向量．cos〈n，AB1〉＝＝＝－.
→42·22|n|·|AB1|
→
→
∴ 二面角A-A1D-B的余弦值为6
. 4
n·AB1
→
20．如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝6. (1)求证：PA⊥B1D1；(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值． 解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则D1(0,0,0)，A1(2,0,0)，B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，
uuuuruuurP(1,1,4)．(1)证明：∵AP＝(－1,1,2)，D1B1＝(2,2,0)，
4
uuuruuuur∴AP·D1B1＝－2＋2＋0＝0，∴PA⊥B1D1.
uuur(2)平面BDD1B1的法向量为AC＝(－2,2,0)．
uuuruuurDA＝(2,0,0)，OP＝(1,1,2)．
uuuruuur设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DA，n⊥DP.
??2x＝0，∴?
?x＋y＋2z＝0，?
??x＝0，
∴?
?y＝－2z，?
取n＝(0，－2,1)，
uuurngAC|0－4＋0|10
设所求锐二面角为θ，则cosθ＝＝. uuur＝
522×5ngAC21.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
1PD． 2（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．
解析： 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
uuuruuuruuur（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则DQ?(1,1,0),DC?(0,0,1),PQ?(1,?1,0).所以
uuuruuuruuuruuurPQ?DQ?0,PQ?DC?0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. uuuruuur（II）依题意有B（1，0，1），CB?(1,0,0),BP?(?1,2,?1).
uuur??n?CB?0,?x?0,即?设n?(x,y,z)是平面PBC的法向量，则?uuu r??n?BP?0,??x?2y?z?0.15uuurm?(1,1,1).所以cos?m,n???.??m?BP?0,5因此可取n?(0,?1,?2).设m是平面PBQ的法向量，则?可取uuur??m?PQ?0.故二面角Q—BP—C的余弦值为
?15.5 .
22.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝6，E是棱PB的中点． (1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD＝3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．
5
(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版)
