高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性
一、幂函数的定义 例1、已知函数
分析：由幂函数的定义可知，只有形如本题解：令 例2、当
时，幂函数
是减函数，则实数m的
前的系数
及
且
是幂函数，求m的值。
的函数才是幂函数，故
，由此可解。
，可解得：m=2。
值为 。 解答：依题意，为减函数，故
二、判断函数的奇偶性
一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。 例3、判断函数非偶函数。
若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。
例4、判断函数解答：
的奇偶性。
的奇偶性。
。又因为函数在
，故m=-1应舍去，从而m=2。
时
解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇
分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。 三、复合函数的奇偶性
复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。 例5、判断函数解答：设
四、利用函数的奇偶性解题 例6、已知函数
的解析式。 解答：
是奇函数，当x>0时，
；求当x<0时
的奇偶性。
，则g（x）是偶函数；又因为的复合函数，故为偶函数。
可视为
例7、试探究是否存在实数，使得函数在，求出实数，并证明函数
是奇函数？若存
是奇函数；若不存在，请说明理由。
解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解得若奇函数
五、幂函数的图像
，易证这是一个奇函数。
在x=0时有意义，则必有f（0）=0。
例8、函数的图像是（）
解答：由
是偶函数，排除B、C；又当0 >x，故选D。 六、比较大小 例9、比较下列两式的大小 ??；?；? 的图像，由于函数 当x>0时是一个增函数，故 解答：??画出 ； ?在同一坐标系中画出 的图像， 故有 ； ?由于，故有：。
高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性
