高中数学题:简单的幂函数与函数的奇偶性
一、幂函数的定义 例1、已知函数
分析:由幂函数的定义可知,只有形如本题解:令 例2、当
时,幂函数
是减函数,则实数m的
前的系数
及
且
是幂函数,求m的值。
的函数才是幂函数,故
,由此可解。
,可解得:m=2。
值为 。 解答:依题意,为减函数,故
二、判断函数的奇偶性
一般地,判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称,然后再根据f(x)和f(-x)的关系进行判断,若相等,则为偶函数;若相反,则为奇函数。也可以根据图像的对称性来判断:若图像关于原点对称,则为奇函数;若图像关于y轴对称,则为偶函数。 例3、判断函数非偶函数。
若将此函数先化简得到f(x)= - x,则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论;另外,本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数,不可以说成“不具有奇偶性”。
例4、判断函数解答:
的奇偶性。
的奇偶性。
。又因为函数在
,故m=-1应舍去,从而m=2。
时
解答:因为函数的定义域是{x|x≠1},关于原点不对称,所以该函数为非奇
分段函数的奇偶性的判断是一个难点,要注意分段进行判断,并要注意是将f(-x)和哪个区间上的f(x)进行比较。 三、复合函数的奇偶性
复合函数y=f[g(x)]的奇偶性可以这样判断:当内外函数均为奇函数时,复合函数是奇函数;当内外函数中有一个是偶函数,而另一个函数无论是奇函数或偶函数,复合函数均为偶函数。 例5、判断函数解答:设
四、利用函数的奇偶性解题 例6、已知函数
的解析式。 解答:
是奇函数,当x>0时,
;求当x<0时
的奇偶性。
,则g(x)是偶函数;又因为的复合函数,故为偶函数。
可视为
例7、试探究是否存在实数,使得函数在,求出实数,并证明函数
是奇函数?若存
是奇函数;若不存在,请说明理由。
解答:函数的定义域是(-1,1),若函数是奇函数,必有f(0)=0,解得若奇函数
五、幂函数的图像
,易证这是一个奇函数。
在x=0时有意义,则必有f(0)=0。
例8、函数的图像是()
解答:由
是偶函数,排除B、C;又当0 >x,故选D。 六、比较大小 例9、比较下列两式的大小 ??;?;? 的图像,由于函数 当x>0时是一个增函数,故 解答:??画出 ; ?在同一坐标系中画出 的图像, 故有 ; ?由于,故有:。
高中数学题:简单的幂函数与函数的奇偶性
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