虑利用函数思想，建立函数关系式。
例4、已知x+y=1，双曲线(x-1)-y=1，直线?同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线?方程。
分析：
选择适当的直线方程形式，把条件“?是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：当?斜率不存在时，x=-1满足； 当?斜率存在时，设?：y=kx+b ?与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1 ∴
2
2
2
2
2
|b|k?122
?1
∴ b=k+1 ①
?y?kx?b222由?得：(1-k)x-2(1+kb)x-b=0 22?(x?1)?y?1当k≠±1且△>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），
x1?x2?2(1?kb)1?k2,x0?
1?kb1?k2
∴ y0=kx0+b=
k?b1?k2∵ M在⊙O上 ∴ x0+y0=1
∴ (1+kb)+(k+b)=(1-k) ② ??33k?k??????33 由①②得：? 或 ??b??23?b?23??33??2
2
22
2
2
∴ ?：y?3232x?3或y???3 3333法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1 当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足； 当y0≠0时，y??2
2
x01x? y0y02
2
2
2
代入(x-1)-y=1得：(y0-x0)x+2(x0-y0)x-1=0 ∵ y0+x0=1
∴ 可进一步化简方程为：(1-2x0)x+2(x0+x0-1)x-1=0
2
2
2
2
2
由中点坐标公式及韦达定理得：x0??即2x0-x0-2x0+1=0 解之得：x0=±1(舍)，x0=∴ y0=?3。下略 23
2
x02?x0?11?2x02∴
1 2评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。
例5、A、B是抛物线y=2px（p>0）上的两点，且OA⊥OB， （1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； （2）求证：直线AB过定点； （3）求弦AB中点P的轨迹方程； （4）求△AOB面积的最小值； （5）O在AB上的射影M轨迹方程。 分析：
设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0） （1）kOA? ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1 ∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y1=2px1，y2=2px2 yy ∴ 1?2?y1y2?0
2p2p222
2
2
y1y,kOB?2 x1x2 ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p ∴ x1x2=4p
（2）∵ y1=2px1，y2=2px2
∴ （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴
y1?y22p?
x1?x2y1?y22p
y1?y22p(x?x1)
y1?y22
2
22
∴ kAB?∴ 直线AB：y?y1?
∴ y?2px12px?y1?
y1?y2y1?y2y12?2px1?y1y22px?∴ y?
y1?y2y1?y2∵ y12?2px1,y1y2??4p2
2px?4p2?∴ y?
y1?y2y1?y2∴ y?2p(x?2p)
y1?y2∴ AB过定点（2p，0），设M（2p，0） （3）设OA∶y=kx，代入y=2px得：x=0，x=
∴ A（
2
2pk2
2p2p） ,2kk12
代k得B（2pk，-2pk） k同理，以?1?2x?p(k?)0?2?k∴ ?
1?y?P(?k)0?k?∵ k2?∴
1k2?(?)?2 kkk21x0y?(0)2?2 pp2
2
即y0=px0-2p
∴ 中点M轨迹方程y=px-2p （4）S?AOB?S?AOM?S?BOM?2
2
1|OM|(|y1|?|y2|)?p(|y1|?|y2|) 2 ≥2p|y1y2|?4p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。 （5）法一：设H（x3,y3），则kOH?∴ kAB??x3 y3y3 x3∴ AB：y?y3??x3(x?x3) y3
y2py32p2
y?3?2px3?0 即x??3(y?y3)?x3代入y=2p得y2?x3x3x32由（1）知，y1y2=-4p 2py32?2px3?4p2 ∴ x32
整理得：x3+y3-2px3=0
∴ 点H轨迹方程为x+y-4x=0（去掉（0，0）） 法二：∵ ∠OHM=90，又由（2）知OM为定线段 ∴ H在以OM为直径的圆上
∴ 点H轨迹方程为(x-p)+y=p，去掉（0，0）
y2?1上两点A、B，AB中点M（1，2） 例6、设双曲线x?222
2
2
02
2
22
（1）求直线AB方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？
分析：
（1）法一：显然AB斜率存在 设AB：y-2=k(x-1)
?y?kx?2?k?222
由?2y2得：(2-k)x-2k(2-k)x-k+4k-6=0
?1?x?2? 当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2） 则??x1?x2k(2?k)? 222?k ∴ k=1，满足△>0 ∴ 直线AB：y=x+1
法二：设A（x1,y1），B（x2,y2） ?2y12?1?x1??2 则? 2?2y2x2??1?2? 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)= ∵ x1≠x2 ∴
y1?y22(x1?x2)?
x1?x2y1?y21(y1-y2)(y1+y2) 2 ∴ kAB?2?1?1 2
∴ AB：y=x+1
y2?1得：△>0 代入x?22 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。
（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。
本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心
设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
?y?x?1?由?2y2得：A（-1，0），B（3，4）
?1?x?2?又CD方程：y=-x+3
?y??x?3?2由?2y2得：x+6x-11=0
?1?x?2?设C（x3,y3），D（x4,y4），CD中点M（x0,y0） 则x0?x3?x4??3,y0??x0?3?6 21|CD|=210 2∴ M（-3，6） ∴ |MC|=|MD|=
又|MA|=|MB|=210 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，210为半径的圆上
评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。
高二圆锥曲线知识点及典型例题
