2024全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编
二、四边形中的计算和证明综合题
1.（2024安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG=√2AG．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°， 故BD⊥EC，
！
（2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF， ∴△AEF∽△DCF，
????????
????????
∴=，
即AE?DF＝AF?DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a?（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
1+√51?√5或（舍去）， 22
解得??=
∴AE=
1+√5． 2（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG=√2AG．
2.（2024黑龙江七台河）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．
（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；
（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝45°， ∵AM⊥BC， ∴∠MAC＝45°， ∴∠EAN＝∠MAC＝45°， 同理∠NAG＝45°， ∴∠EAN＝∠NAG，
∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形， ∴AE＝AB＝AC＝AG， ∴EN＝GN．
（2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立．
2024年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(二)四边形中的计算和证明综合(解析版)
