专题1.12 动力学中的临界极值问题
【专题诠释】
1．临界或极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点．
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点．
(4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度． 2．几种临界状态和其对应的临界条件
临界状态 临界条件 速度达到最大 物体所受的合外力为零 两物体刚好分离 两物体间的弹力FN＝0 绳刚好被拉直 绳中张力为零 绳刚好被拉断 【高考领航】
绳中张力等于绳能承受的最大拉力 【2019·江苏高考】如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，
B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至
停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
(1)A被敲击后获得的初速度大小vA；
(2)在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小aB、aB′； (3)B被敲击后获得的初速度大小vB。
【答案】 (1)2μgL (2)3μg μg (3)22μgL 【解析】 A、B的运动过程如图所示：
(1)A被敲击后，B静止，A向右运动，由牛顿第二定律知，A的加速度大小aA＝μg
A在B上滑动时有2aAL＝v2A
解得：vA＝2μgL。 (2)设A、B的质量均为m
对齐前，A相对B滑动，B所受合外力大小
F＝μmg＋2μmg＝3μmg
由牛顿第二定律得F＝maB，得aB＝3μg
对齐后，A、B相对静止，整体所受合外力大小F′＝2μmg 由牛顿第二定律得F′＝2maB′，得aB′＝μg。
(3)设B被敲击后，经过时间t，A、B达到共同速度v，位移分别为xA、xB，A的加速度大小等于aA 则v＝aAt，v＝vB－aBt
xA＝aAt2，xB＝vBt－aBt2
且xB－xA＝L
解得：vB＝22μgL。
【2012·重庆理综】某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为x.比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时，再以v0做匀速直线运动跑至终点．整个过程中球一直保持在球拍中心不动．比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾
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角为θ0，如图所示．设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g.
(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
(2)求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v0，而球拍的倾角比θ0大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件． 【答案】见解析
【解析】 (1)在匀速运动阶段，有mgtan θ0＝kv0 mgtan θ0得k＝.
v0
(2)加速阶段，设球拍对球的支持力为F′N，有
F′Nsin θ－kv＝ma F′Ncos θ＝mg
得tan θ＝＋tan θ0.
(3)以速度v0匀速运动时，设空气阻力与重力的合力为F，有
avgv0
F＝
mgcos θ
0
球拍倾角为θ0＋β时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，有Fsin β＝ma′
设匀速跑阶段所用时间为t，有t＝－
v02a12
球不从球拍上掉落的条件a′t≤r
2得sin β≤
2rcos θ
0
xv0
?xv0?g?－?2?v02a?
. 【方法技巧】．
处理临界问题的三种方法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)极限法 暴露出来，以达到正确解决问题的目的 临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，假设法 或变化过程中可能出现临界条件、也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界数学法 条件 【最新考向解码】
【例1】(2019·安徽宣城高三上学期期末)质量为m＝1 kg、大小不计的物块，在水平桌面上向右运动，经过O点时速度为v＝4 m/s，此时对物块施加F＝6 N的方向向左的拉力，一段时间后撤去拉力，物块刚好能回到O点。已知与桌面间动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s。求：
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(1)此过程中物块到O点的最远距离； (2)撤去F时物块到O点的距离。 2
【答案】 (1)1 m (2) m
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【解析】 (1)物块向右做匀减速运动时，设物块向左的加速度大小为a1，物块与O点的最远距离为x1， 则有F＋μmg＝ma1 解得a1＝8 m/s； 由v＝2a1x1， 可得x1＝1 m。
(2)物块向左运动过程中，有力F作用时做匀加速运动，设加速度大小为a2，最大速度大小为v1，加速位移大小为x2，撤去拉力F后做匀减速运动，设加速度大小为a3，减速位移大小为x3，则有
2
2
F－μmg＝ma2，解得a2＝4 m/s2
μmg＝ma3，解得a3＝2 m/s 由v1＝2a2x2
2
2
v21＝2a3x3
x2＋x3＝x1
2
联立解得x3＝ m，
3
2
即撤去F时物块到O点的距离为 m。
3
【例2】(2019·湖北黄冈中学模拟)如图所示，水平地面上有一车厢，车厢内固定的平台通过相同的弹簧把相
同的物块A、B压在竖直侧壁和水平的顶板上，已知A、B与接触面间的动摩擦因数均为μ，车厢静止时， 两弹簧长度相同，A恰好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现使车厢沿水平方向加速
运动，为保证A、B仍相对车厢静止，则
( )
A．速度可能向左，加速度可大于(1＋μ)g B．加速度一定向右，不能超过(1－μ)g C．加速度一定向左，不能超过μg D．加速度一定向左，不能超过(1－μ)g 【答案】：B
【解析】：开始A恰好不下滑，对A分析有fA＝mg＝μFNA＝μF弹，解得F弹＝，此时弹簧处于压缩状态．当
μ车厢做加速运动时，为了保证A不下滑，侧壁对A的支持力必须大于等于，根据牛顿第二定律可知加速μ度方向一定向右．对B分析，有fBm＝μFNB＝μ(F弹－mg)≥ma，解得a≤(1－μ)g，故选项B正确，A、C、D错误．
mgmg
【例3】(2019·辽宁葫芦岛六校联考)如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可
视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v0沿木板 向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g.
备考2020年高考物理 专题1.12 动力学中的临界极值问题精准突破(含解析)
