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江苏省南通市启东市高二第二学期期末考试
数 学 试 卷
I卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q=________． 2．函数f（x）=
+
的定义域为________．
3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为________．
4．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2016，则输出的b=________．
5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．
6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有________．
7．如图所示，该伪代码运行的结果为________．
8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=________． 9．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为________．
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10．已知函数f（x）=，则f（log23+2016）=________．
11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为________．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切 线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是________．13．已知函数f（x）=围是________．
14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是________．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．设关于x的不等式（x+2）（a﹣x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N，且M∩N=[﹣1，2]
（1）求实数a的值；
（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率． 16．函数f（x）=（1）求a、b、c的值；
（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．
17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．
（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由． 18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）
（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值； （3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围． 19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；
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，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范
（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3
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（2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件： ①对?x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；
②对?x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由． 20．已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax3﹣x2+1（a∈R）． （1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． II卷
21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是
，求矩阵A．
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴
的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．
23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；
（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）． 24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值． （1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性； （2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+
＞ln（n+1）都成立．
．
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江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
I卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q={3，4}． 【考点】交集及其运算．
【分析】根据交集的定义，进行计算即可．
【解答】解：集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}， 所以P∩Q={3，4}． 故答案为：{3，4}．
2．函数f（x）=
+
的定义域为[﹣3，1]．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，求出函数的定义域即可． 【解答】解：由题意得：
，解得：﹣3≤x≤1，
故答案为：[﹣3，1]．
3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为75． 【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．
【解答】解：用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本． 则样本间隔为480÷20=24，
若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3， 则第4组抽取的号码为3+24×3=75， 故答案为：75
4．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2016，则输出的b=2017．
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【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次计算a，b的值即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=2017，b=2016， a=2017+2016=4033 b=4033﹣2016=2017
输出a的值为4033，b的值为2017． 故答案为：2017．
5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数，再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率．
【解答】解：在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片， 现从中一次取出2张卡片， 基本事件总数n=
=10，
=4，
在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m=∴在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p=故答案为：．
．
6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有300．
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【考点】频率分布直方图．
【分析】结合图形，求出成绩在[300，350）内的学生人数的频率，即可求出成绩在[300，350）内的学生人数．
【解答】解：根据题意，成绩在[300，350）内的学生人数的频率为 1﹣（0.001+0.001+0.004+0.005+0.003）×50=1﹣0.7=0.3， ∴成绩在[300，350）内的学生人数为：1000×0.3=300； 故答案为：300．
7．如图所示，该伪代码运行的结果为9．
【考点】伪代码．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=25时不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为9．
【解答】解：模拟执行程序，可得 i=1，S=1
满足条件S≤20，执行循环体，i=3，S=4 满足条件S≤20，执行循环体，i=5，S=9 满足条件S≤20，执行循环体，i=7，S=16 满足条件S≤20，执行循环体，i=9，S=25
此时，不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为9． 故答案为：9．
8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=1． 【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则1ga=﹣lgb，结合对数的运算性质，可得答案． 【解答】解：∵函数f（x）=|lgx|， 若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），
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则1ga=﹣lgb，
即lga+lgb=lg（ab）=0， ∴ab=1， 故答案为：1
9．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为﹣2． 【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值即可． 【解答】解：f′（x）=x2﹣2ax=x（x﹣2a）， 令f′（x）=0，解得；x=0或x=2a，
若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值， 则2a=﹣4，解得：a=﹣2， 故答案为：﹣2．
10．已知函数f（x）=【考点】函数的值．
【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解． 【解答】解：∵函数f（x）=
，
，则f（log23+2016）=．
∴f（log23+2016）=f（log23﹣1）=故答案为：．
==．
11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为6． 【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据题意△=0，得出a2+b2=4，利用基本不等式ab≤【解答】解：不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解， 所以△=4a2﹣4（﹣b2+12）=4a2+4b2﹣48=0， 即a2+b2=12； 所以ab≤
=6，当且仅当a=b=±
时，“=”成立；
即可求出ab的最大值．
即ab的最大值为6．
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故答案为：6．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是【考点】利用导数研究函数的极值；对数函数的图象与性质．
【分析】由题意设点P的坐标为（m，lnm）；从而写出直线方程，从而得到M（m﹣mlnm，0），N（m+0）；从而求得t=（2m+
﹣mlnm）（m＞1）；再由导数求最值即可
， ．
【解答】解：设点P的坐标为（m，lnm）； f′（m）=；
则切线l的方程为y﹣lnm=（x﹣m）； l的垂线的方程为y﹣lnm=﹣m（x﹣m）； 令y=0解得，
M（m﹣mlnm，0），N（m+故t=（2m+
，0）；
﹣mlnm）（m＞1）；
t′=
故t=（2m+
；
﹣mlnm）先增后减，
；
故最大值为（2e+﹣e）=
故答案为：
13．已知函数f（x）=围是﹣2≤k＜﹣1．
【考点】函数零点的判定定理．
，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范
【分析】作出函数y=f（f（x））的图象，即可确定实数k的取值范围． 【解答】解：由题意，x≤﹣1，f（x）=1﹣x2≤0，f（f（x））=1﹣（1﹣x2）2； ﹣1＜x≤0，f（x）=1﹣x2＞0，f（f（x））=﹣2+x2； x＞0，f（x）=﹣x﹣1＜0，f（f（x））=1﹣（﹣x﹣1）2． 函数y=f（f（x））的图象如图所示，
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∵函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点， ∴﹣2≤k＜﹣1． 故答案为：﹣2≤k＜﹣1．
14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是[，+∞）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】问题转化为函数g（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x在（0，+∞）递减，即m≥x﹣x2在（0，+∞）恒成立，求出m的范围即可．
【解答】解：若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立， 即若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣x2＜f（x1）﹣x1恒成立， 即函数g（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x在（0，+∞）递减，
g′（x）=≤0在（0，+∞）恒成立，
即m≥x﹣x2在（0，+∞）恒成立， 而x﹣x2=﹣∴m≥，
故答案为：[，+∞）．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．设关于x的不等式（x+2）（a﹣x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N，且M∩N=[﹣1，2]
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+≤，
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（1）求实数a的值；
（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率． 【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．
【分析】（1）根据不等式的解法先求出N，根据M∩N=[﹣1，2]，得到2是方程（x+2）（a﹣x）=0的根，进行求解即可．
（2）求出集合M，以及M∪N，根据几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3≤0得（x+1）（x﹣3）≤0，得﹣1≤x≤3，即N=[﹣1，3]， ∵M∩N=[﹣1，2]
∴2是方程（x+2）（a﹣x）=0的根，则4（a﹣2）=0，得a=2，
（2）当a=2时，x+2）（a﹣x）≥0等价为x+2）（2﹣x）≥0得﹣2≤x≤2，即M=[﹣2，2]， 则M∪N=[﹣2，3]， ∵M∩N=[﹣1，2]
∴在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率P=
16．函数f（x）=（1）求a、b、c的值；
（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）由条件利用函数的奇偶性求得a、b、c的值．
（2）当x＜0时，根据函数f（x）=x+ 的图象，利用导数求得它的单调区间． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=
（a、b、c∈Z）是奇函数，
（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3
=．
∴f（﹣x）=又∵f（1）=2，∴根据f（2）=
=﹣f（x）=﹣=
，∴c=0．
=2，∴a+1=2b．
＜3，∴a=b=1．
综上可得，a=b=1，c=0． （2）当x＜0时，函数f（x）=
=x+，∴f′（x）=1﹣
，令f′（x）=0，求得x=﹣1，
在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，函数f（x）单掉递增，在（﹣1，0）上，f′（x）＜0，函数f（x）单掉递减，
故单调增区间为（﹣∞，﹣1），单调减区间为（﹣1，0）．
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17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．
（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由． 【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】（1）由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率，由此利用分层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数．
（2）先求出基本事件总数，由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率． （3）分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差，由此能求出结果． 【解答】解：（1）∵启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学， 在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组， ∴该传媒班某同学被抽到的概率p=课外兴趣小组中男同学的人数为：30×课外兴趣小组中女同学的人数为：20×
=
．
=3人， =2人．
（2）在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验， 方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后， 再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验， 基本事件总数n=5×4=20，
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率： p=
=．
（3）第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为： =（68+70+71+72+74）=71，
第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为：
S2= [（68﹣71）2+（70﹣71）2+（71﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=4． 第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：
=（69+70+70+72+74）=71，
第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为：
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S'2= [（69﹣71）2+（70﹣71）2+（70﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=∵=
18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）
（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值； （3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围．
，S2＜S'2，∴第二次做实验的同学的实验更稳定．
．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（x）=0有两个不相等的实数根，根据△＞0，求出a的范围即可； （2）根据f′（1）=0，求出a，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；
（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，得到f′（x）在[﹣1，]有解，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+1）（x+a）=x3+ax2+x+a， ∴f′（x）=3x2+2ax+1，
若函数f（x）在R上存在极值， 则f′（x）=0有两个不相等的实数根， ∴△=4a2﹣12＞0，解得：a＞
或a＜﹣
；
（2）f′（x）=3x2+2ax+1，若f′（1）=0， 即3+2a+1=0，解得：a=﹣2， ∴f′（x）=（3x﹣1）（x﹣1）， x∈[﹣1，]时，x﹣1＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞， ∴f（x）在[﹣1，）递增，在（，]递减， ∴f（x）max=f（）=
，f（x）min=f（﹣1）=﹣2；
（3）由（1）得：f′（x）=3x2+2ax+1，对称轴x=﹣， 若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性， 则f′（x）在[﹣1，]有解，而f（0）=1＞0，
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∴只需或，
解得：故a＞
＜a＜3或a≥3， ．
19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数； （2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件： ①对?x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；
②对?x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由． 【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．
【分析】（1）将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数； （2）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，
由①可知函数f（x）的对称轴是x=﹣1，令最值为0，由此可知a=c； 由②知将x=1代入可求的a、c与b的值，最后验证成立即可． 【解答】解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c中，f（﹣1）=0， 所以a﹣b+c=0，即b=a+c；
又△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2， 当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点； 当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点；
（2）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=﹣1， 所以﹣
=﹣1，即b=2a；
不妨令f（x）的最值为0， 则
即b2=4ac， 所以4a2=4ac， 得出a=c；
由②知对?x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2， 不妨令x=1，可得0≤f（1）﹣1≤0， 即f（1）﹣1=0， 所以f（1）=1， 即a+b+c=1；
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=0，
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由解得a=c=，b=；
当a=c=，b=时，f（x）=x2+x+=（x+1）2，其顶点为（﹣1，0）满足条件①， 又f（x）﹣x=（x+1）2，所以对?x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x+1）2，满足条件②． 所以存在a=，b=，c=时，f（x）同时满足条件①、②．
20．已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax3﹣x2+1（a∈R）． （1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=ex﹣ax﹣1，（x≥0），通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可．
【解答】解：（1）a=0时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2+1， f′（x）=xex﹣x=x（ex﹣1）≥0， x≥0时，ex﹣1≥0，x＜0时，ex﹣1＜0， ∴f（x）在R递增；
（2）f（x）=（x﹣1）ex﹣ax3﹣x2+1，（x≥0）， f′（x）=x（ex﹣ax﹣1）， 令g（x）=ex﹣ax﹣1，（x≥0）， g′（x）=ex﹣a，
①a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增， ∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0， ∴f（x）≥f（0）=0，成立，
②当a＞1时，存在x0∈[0，+∞），使g（x0）=0，即f′（x0）=0， 当x∈[0，x0）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在[0，x0）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，这与f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾， 综上：a≤1． II卷
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21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是【考点】特征值与特征向量的计算． 【分析】先设矩阵
，求矩阵A．
，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量及矩
阵M对应的变换将点（1，0）变换为（2，3），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M． 【解答】解：设 由所以
． …
得，
，所以
，由
得，
，…
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴
的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：
，
令y=0，可得M点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．
【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0． 将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：
，
令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1）， 半径r=1，则∴
23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；
（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．
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， ．
．
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【分析】（1）由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率． （2）小李4次考核每次合格的概率依次为：
，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为
1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）． 【解答】解：（1）由题意得解得
或
，
， ，
∵他参加第一次考核合格的概率超过，即∴小李第一次参加考核就合格的概率p1=．
（2）∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列， 且小李第一次参加考核就合格的概率p1=， ∴小李4次考核每次合格的概率依次为：
，
由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4， P（X=1）=，
P（X=2）=（1﹣）×=
，
，
，
P（X=3）=（1﹣）（1﹣）×=
P（X=4）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×1=∴X的分布列为： X P E（X）=
1
2
=
3
．
4
24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值． （1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性； （2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+
＞ln（n+1）都成立．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，求得a值，求出f（x）的表达式，从而求出函数的单调区间即可；
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（2）f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x的定义域为{x|x＞﹣1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）﹣x2﹣x≤0，令x=，可以得到ln（+1）＜+
，利用此不等式进行放缩证明．
【解答】解：（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x f′（x）=2（
﹣2x﹣1），
当x=0时，f（x）取得极值， ∴f′（0）=0 故﹣2×0﹣1=0，
解得a=1，经检验a=1符合题意， 则实数a的值为1，
∴f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x，（x＞﹣）， f′（x）=2（
﹣2x﹣1）=
，
令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0， ∴f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减； （2）f（x）的定义域为{x|x＞﹣}，
由（1）得：f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减，
∴f（x）≤f（0），故ln（2x+1）﹣4x2﹣2x≤0（当且仅当x=0时，等号成立） 对任意正整数n，取2x=＞0得，ln（+1）＜+
，
∴ln（）＜，
故2+++…+
＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．
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2024届南通市启东市高二下期末数学试卷(有答案)
