合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A 9 D 10 C 11 A 12 D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2e2 16.①②④
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
110?内的天数为 解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间?90，??7711??30???????20???30?2天，
??300600100600??空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，
∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为P?1?1?114?. 3015………………………6分
(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有????771?????20 ???30?27(天)，??300600100??∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分
18.(本小题满分12分)
解：(1)∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC∥A1C1.
又∵AC?平面ABC，AC11?平面ABC，∴A1C1∥平面ABC. 同理得，B1C1∥平面ABC.
∵A1C1，B1C1?平面A1B1C1，且A1C1IB1C1?C1， ∴平面ABC∥平面A1B1C1. 又∵A1B1?平面A1B1C1，
∴A1B1∥平面ABC. ………………………………5分
o(2)∵AC∥A1C1，B1C1∥BC，∴?AC11B1??ACB?60.
∵AC11?AC?2，2B1C1?BC?2， 133∴S?A1B1C1??1?2?. ?222?3AC1， 在菱形A1ACC1中，∵AC1∴?ACC1?60o，SYA1ACC1?2?2?3?23. 2∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M， ∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC. 由(1)知，平面ABC∥平面A1B1C1， ∴点B到平面A1B1C1的距离为C1M?3.
又∵点B到平面A1ACC1的距离为BM?3，连接BC1， 则V?VB?ABC?VB?AACC????11111?1?35?23??3?. ………………………………12分 ?3?22?
19.(本小题满分12分)
????2k???4????2???解：(1)由已知得??????2k?(k?Z)，解得??，
8??????4?????2????∴f?x??2sin?2x??. ……………………………6分
4?????(2)由题意得，g?x??2sin?x??.
4??∵x??0，??，∴x??????5??， ??， 4?44??∴sin?x????2???， 1?， ??4??2?∴g?x?的值域为?. ……………………………12分 2???1，?
20.(本小题满分12分)
解：设点P?x0，y0?，A?x1，y1?，B?x2，y2?. (1)∵直线l经过坐标原点，∴x2??x1，y2??y1.
22x0x022∵?y0?1，∴y0?1?. 44x12同理得，y1?1?.
42∴kPA?kPB?x121???1?224?4y0?y1y0?y1y0?y1????2?x0?x1x0?x1x0?x12x02?x12x02??????x02x12??????44?????1，
4x02?x12∴直线PA与直线PB的斜率之积为定值. ……………………………6分
uuuruuuruuur(2)设线段AB的中点为Q?x，y?，则OA?OB?2OQ. uuuruuuruuuruuuruuurr?x??2x∵OA?OB?OP?0，∴OP??2OQ，则?0.
?y0??2y2?x0??2xx0将?代入?y02?1得，x2?4y2?1，
4?y0??2y∴线段AB的中点Q的轨迹方程为x2?4y2?1.
同理，线段AP和线段BP中点的轨迹方程也为x2?4y2?1.
∴?ABP三边的中点在同一个椭圆x2?4y2?1上. ……………………………12分
21.(本小题满分12分) 解：(1)F??x??ex?e?x?a.
当a?2时，F??x??ex?e?x?a?2?a?0恒成立，F?x?在R上单调递增. a?a2?4a?a2?4当a?2时，由F??x??0得，e?，∴x?ln.
22x??a?a2?4??a?a2?4∴F?x?在???，?和?ln ln， ???上单调递增，
????22?????a?a2?4a?a2?4?在?ln?上单调递减. …………………………………5分 ， ln??22??(2)①由(1)知，当x?1时，F?x??F?1??0，即当x?1时，曲线C1恒在C2上方. 按题意有，f?xn??g?xn?1?，即e?exn?xn?2xn?1，∴xn?1exn?e?xn. ?2②由①知xn?1exn?e?xnexn. ??22注意到x1?1，
exnexn?1ex1∴xn?1?xn?L?x2?xn?1?xn?L?x2?x1???L?，
222?1?∴xn?1?xn?L?x2?x1????exn?xn?1?L?x1，
?2?n两边同取自然对数得，lnxn?1?lnxn?L?lnx2?lnx1?nln??xn?xn?1?L?x1?， 即Sn?Tn?1?nln2. …………………………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)曲线E的直角坐标方程为?x+1??y2?4，
直线m的极坐标方程为???(??R). ………………………………5分 (2)设点A，C的极坐标分别为??1，??，??2，??.
??=?由?2得，?2+2?cos??3?0， ??+2?cos??3?0212∴?1??2??2cos?，?1?2??3， ∴AC??1??2?2cos2??3. 同理得，BD?2sin2??3. ∵SABCD?1AC?BD?2cos2??3?sin2??3?cos2??3?sin2??3?7， 2当且仅当cos2??3?sin2??3，即???4或3?时，等号成立， 4∴四边形ABCD面积的最大值为7. ………………………………10分
23.(本小题满分10分)
x??1?3?x，?(1)f?x??2x?2?x?1??1?3x，?1?x?1，
?x?3， x?1?根据函数图象得，f?x?的最小值为-2，
∴m??2. ………………………………5分 (2)由(1)知，a?b?c?2，
2222a?1?b?1?1?c?2?1?a?b?c?1?9， ?∴?a2??b?1???c?2????12?12?12?????????????∴a2??b?1???c?2??3，
22当且仅当a?b?1?c?2，a?b?c?2，即a?1，b?2，c??1时等号成立， ∴a2?b2?c2?2b?4c?2?0. ………………………………10分
2020合肥三模文科数学 答案
