2020
专题04 函数的概念及表示
考点12 考点13 考点14 考点15 考点16 考点17 考点18 函数的概念 函数的表示法 分段函数 函数的定义域及其求法 函数的值域 求函数的解析式 映射 考点12 函数的概念
要点阐述 1.函数:(1)设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)值域是集合B的子集.
2.区间的概念(a,b∈R,且a
定义 {x|a≤x≤b} {x|a 2020 典型例题 【例】给出下列两个集合A,B及A?B的对应f: 中的数的平方; ①A???1,0,1?,B???1,0,1?,f:A中的数的开方; ②A??0,1?,B???1,0,1?,f:A③A?Z,B?Q,f:A中的数的倒数; 中的数取绝对值; ④A?R,B?正实数,f:A,2,3,4?,B??2,4,6,810,?,f:n?2m,其中n?A,m?B. ⑤A??1其中是A到B的函数有__________个. 【答案】2 ?? 【名师点睛】本题所给集合A,B都是数集,关键是看根据给出的对应关系,自变量在其取值集合中的每一个值是否都有唯一的值与之对应. 【解题必备】(1)“A,B是非空的数集”,一方面强调了A,B只能是数集,即A,B中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说定义域为空集的函数是不存在的. (2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应. (4)函数符号“y?f?x?”是数学中抽象符号之一,“y?f?x?”仅为y是x的函数的数学表示,不表示y等于f与x的乘积,f?x?也不一定是解析式,还可以是图表或图象. 2020 小试牛刀 1.如图所示,不可能是函数图象的是 A.【答案】D B. C. D. 2.下列各组函数中的两个函数是相等函数的是 A.f?x???x?1?与g?x??1C.f?x??x与g?x??【答案】B 【解析】A,C,D的定义域均不同,B中定义域,对应关系都相同,是同一函数. 3.给出下列四个命题: (1)函数就是两个数集之间的对应关系 (2)若函数的定义域只含有一个元素,则值域也只含有一个元素 (3)因为f(X)=5(x?R)的函数值不随x的变化而变化,所以f(X)=5(x?R)不是函数 (4)定义域和对应关系确定以后,函数的值域也确定了。 其中正确的个数 A.1 【答案】B 【解析】对于(1)必须是非空数集之间的对应关系,并且对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,对于(3)对于x?R中的每一个值,都有唯一确定的值5与之对应,符合函数的定义。故选B 【概念辨析】函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足,便不能 0 B.f?x??x与g?x??x2 ?x? 2D.f(x)?x?1?x?1与g(x)?x2?1 B.2 C.3 D.4 2020 构成函数. 4.下列关于函数与区间的说法正确的是 A.函数定义域必不是空集,但值域可以是空集 B.函数定义域和值域确定后,其对应关系也就确定了 C.数集都能用区间表示 D.函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 【答案】D 5.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是 A.f(x)=|x| 【答案】C 【解析】C中,f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2. ∴f(2x)≠2f(x),则C项不满足f(2x)=2f(x). 6.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 (1)y1?(2)y1?B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x (x?3)(x?5),y2?x?5; x?3x?1x?1,y2?(x?1)(x?1); (3)y1?x,y2?x2; (4)y1?x,y2?3x3. A.(1)(2) 【答案】C 【解析】(1)中y1定义域为{x|x??3},y2定义域为R,故定义域不同;(2)中y1定义域为{x|x?1},y2定义域为{x|x?1或x??1},故定义域不同;(3)中y1值域为R,y2值域为{y|y?0},故值域不同;(4)中y1,y2定义域与值域均相同. 【解题技巧】判定两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数. B.(2)(3) C.(4) D.(3) 2020 考题速递 1.下列所给图象是函数图象的个数为 A.1 【答案】B B.2 C.3 D.4 2.下列各组函数表示相等函数的是 x2?9A.y?与y=x+3 x?3B.y?0 x2?1与y=x–1 C.y=x(x≠0)与y=1(x≠0) D.y=2x+1(x∈Z)与y=2x–1(x∈Z) 【答案】C 【解析】选项A前者的定义域为{x|x≠3},而后者的定义域为R;选项B前者的对应关系为y=|x|–1而后者为 y=x–1;选项D前者的对应关系为y=2x+1而后者为y=2x–1.故选C. 3.http://www.ks5u.com/函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点有( )个. 【答案】0或1 【解析】设函数的定义域为[a,b],由函数的定义知,函数的定义域中含有元素1时,y有唯一的一个值与之对应,此时函数y=f(x)的图象与直线x=1有一个交点(如图①所示);定义域中不包含1时,函数图象与x=1没有交点(如图②所示). 4.下面两个函数是否相等?请说明理由.
2020高中数学 专题04 函数的概念及表示庖丁解题 新人教A版必修1
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