2020
专题04 函数的概念及表示
考点12 考点13 考点14 考点15 考点16 考点17 考点18 函数的概念 函数的表示法 分段函数 函数的定义域及其求法 函数的值域 求函数的解析式 映射 考点12 函数的概念
要点阐述 1．函数:(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)值域是集合B的子集．
2．区间的概念（a，b∈R，且a 定义 {x|a≤x≤b} {x|a 2020 典型例题 【例】给出下列两个集合A,B及A?B的对应f： 中的数的平方； ①A???1,0,1?,B???1,0,1?,f:A中的数的开方； ②A??0,1?,B???1,0,1?,f:A③A?Z,B?Q,f:A中的数的倒数； 中的数取绝对值； ④A?R,B?正实数,f:A，2，3，4?,B??2，4，6，810，?,f:n?2m,其中n?A,m?B． ⑤A??1其中是A到B的函数有__________个． 【答案】2 ?? 【名师点睛】本题所给集合A,B都是数集，关键是看根据给出的对应关系，自变量在其取值集合中的每一个值是否都有唯一的值与之对应． 【解题必备】（1）“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的． （2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集． （3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应． （4）函数符号“y?f?x?”是数学中抽象符号之一，“y?f?x?”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f?x?也不一定是解析式，还可以是图表或图象． 2020 小试牛刀 1．如图所示，不可能是函数图象的是 A．【答案】D B． C． D． 2．下列各组函数中的两个函数是相等函数的是 A．f?x???x?1?与g?x??1C．f?x??x与g?x??【答案】B 【解析】A,C,D的定义域均不同，B中定义域，对应关系都相同，是同一函数． 3．给出下列四个命题： （1）函数就是两个数集之间的对应关系 （2）若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 （3）因为f(X)=5（x?R）的函数值不随x的变化而变化，所以f(X)=5（x?R）不是函数 （4）定义域和对应关系确定以后，函数的值域也确定了。 其中正确的个数 A．1 【答案】B 【解析】对于（1）必须是非空数集之间的对应关系，并且对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，对于（3）对于x?R中的每一个值，都有唯一确定的值5与之对应，符合函数的定义。故选B 【概念辨析】函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能 0 B．f?x??x与g?x??x2 ?x? 2D．f(x)?x?1?x?1与g(x)?x2?1 B．2 C．3 D．4 2020 构成函数． 4．下列关于函数与区间的说法正确的是 A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了 C．数集都能用区间表示 D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 【答案】D 5．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是 A．f(x)＝|x| 【答案】C 【解析】C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2． ∴f(2x)≠2f(x)，则C项不满足f(2x)＝2f(x)． 6．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （1）y1?（2）y1?B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x (x?3)(x?5)，y2?x?5； x?3x?1x?1，y2?(x?1)(x?1)； （3）y1?x，y2?x2； （4）y1?x，y2?3x3． A．（1）（2） 【答案】C 【解析】（1）中y1定义域为{x|x??3}，y2定义域为R,故定义域不同；（2）中y1定义域为{x|x?1}，y2定义域为{x|x?1或x??1},故定义域不同；（3）中y1值域为R，y2值域为{y|y?0},故值域不同；（4）中y1，y2定义域与值域均相同． 【解题技巧】判定两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数． B．（2）（3） C．（4） D．（3） 2020 考题速递 1．下列所给图象是函数图象的个数为 A．1 【答案】B B．2 C．3 D．4 2．下列各组函数表示相等函数的是 x2?9A．y?与y=x+3 x?3B．y?0 x2?1与y=x–1 C．y=x（x≠0）与y=1（x≠0） D．y=2x+1（x∈Z）与y=2x–1（x∈Z） 【答案】C 【解析】选项A前者的定义域为{x|x≠3}，而后者的定义域为R；选项B前者的对应关系为y=|x|–1而后者为 y=x–1；选项D前者的对应关系为y=2x+1而后者为y=2x–1．故选C． 3．http://www.ks5u.com/函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点有（ ）个． 【答案】0或1 【解析】设函数的定义域为[a，b]，由函数的定义知，函数的定义域中含有元素1时，y有唯一的一个值与之对应，此时函数y=f(x)的图象与直线x=1有一个交点(如图①所示)；定义域中不包含1时，函数图象与x=1没有交点(如图②所示)． 4．下面两个函数是否相等？请说明理由．
2020高中数学 专题04 函数的概念及表示庖丁解题 新人教A版必修1
