26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而
B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得
P(AC)? ?27.
P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)
2/3?0.98?0.99492
2/3?0.98?1/3?0.01球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱
【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=
出一球为白球}.由贝叶斯公式知
1,i=0,1,2.又设B={抽3P(A1B)?P(BA1)P(A1)P(A1B) ?2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?28.
2/3?1/31?
1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3396%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
P(AB)? ?29.
P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998
0.96?0.98?0.04?0.05.统计资料表明，上
述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得
P(A|D)? ?P(AD)P(A)P(D|A)?
P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057
0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.3习题二
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae?|x|, ?∞ 求：（1）A值；（2）P{0 ????f(x)dx?1得 1??Aedx?2?Ae?xdx?2A ??0??|x|?1. 211?x1?1(2) p(0?X?1)??edx?(1?e) 202x11exdx?ex (3) 当x<0时，F(x)????22x101x1e?|x|dx??exdx??e?xdx 当x≥0时，F(x)????2??2021?x ?1?e 2故 A??1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0 x?0习题四 1.设随机变量X的分布律为 X P ??1 0 1 2 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 11111?0??1??2??; 828421212121522(2) E(X)?(?1)??0??1??2??; 828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4 2【解】(1) E(X)?(?1)? 求D(X) 习题七 10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）： 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】x?76.6,s?18.14,??1?0.95?0.05,n?20, t?/2(n?1)?t0.02(519?)2.093,2??/2(n?1)??220.025(19?)32.8?520,.975?(19) 8.907(1) μ的置信度为0.95的置信区间 s18.14????x?t(n?1)?76.6??2.093a/2?????(68.11,85.089) n20????(2)?的置信度为0.95的置信区间 2 ?(n?1)s2(n?1)s2??191922?,??18.14,?18.14?2????(190.33,702.01) 2?(n?1)?(n?1)32.8528.907?1??/2??/2???(??1)x?,0?x?1;11.设总体X~f(x)=?其中???1 其他.?0,X1,X2,?,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. 【解】(1) E(X)??又 ????xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1, ??2X?E(X)?故 ??1, ??2???2X?1 1?X??2X?1. 所以θ的矩估计量 ?1?X(2) 似然函数 n?n??(??1)?xi 0?xi?1(i?1,2,,n). L?L(?)??f(xi)??i?1i?1?0其他?n取对数 lnL?nln(??1)???lnxii?1n(0?xi?1;1?i?n), dlnLn???lnxi?0,d???1i?1???1?所以θ的极大似然估计量为?nnn. i?lnXi?113.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为 ?2e?2(x??), x??;f(x,θ)= ? x??.?0,其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计 值. 【解】似然函数 ??2(xi??)?2n?e?i?1L?L(?)???0?ni?1nxi?0;i?1,2,其他.,n; lnL?nln2?2?(xi??),xi??;i?1,2,dlnL?2n?0知lnL(?)?, d???min{x}时lnL(??)?maxlnL(?) 那么当?由 1?i?ni,n,??0??min{x} 所以θ的极大似然估计量?i1?i?n14. 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 P θ2 2θ(1-θ) θ2 1-2θ 其中θ(0<θ< 1)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估2计值和极大似然估计值. 【解】 ??3?x(1)E(X)?3?4?,令E(X)?x得?4 8xi又 x???2i?18??所以θ的矩估计值?83?x1?. 446i（2） 似然函数L??P(x,?)?4?i?1(1??2)(1?2?)4. lnL?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1??), dlnL6286?28??24?2?????0,d??1??1?2??(1??)(1?2?)解6?28??24??0 得 ?1,2?27?13. 2由于 7?131?, 122??7?13. 所以θ的极大似然估计值为 ?2习题八 1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁 水，其含碳量（%）分别为 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37 问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（?=0.05）? 【解】 H0:???0?4.55;H1:???0?4.55.n?5,??0.05,Z?/2?Z0.025?1.96,??0.108x?4.364,Z?x??0(4.364?4.55)??5??3.851,0.108?/nZ?Z0.025. 所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化. 2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为： 3.24 3.26 3.24 3.27 3.25 设含镍量服从正态分布，问在?=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设 H0:???0?3.25;H1:???0?3.25.n?5,??0.01,t?/2(n?1)?t0.005(4)?4.6041x?3.252,s?0.013,t?x??0(3.252?3.25)??5?0.344,0.013s/nt?t0.005(4). 所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25. 6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.0052）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其 电阻，得s=0.008欧.对于?=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005? 【解】 H0:???0?0.005;H1:???0?0.005.n?9,??0.05,s?0.008,2222 ??/2(8)??0.025(8)?17.535,?1??/2(8)??0.975(8)?2.088,??2(n?1)s2?028?0.008222??20.48,???(8).0.0252(0.005)故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005. 7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到： 第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg； 第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg. 设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(?=0.05) 【解】 H0:?1??2;H1:?1??2.n1?n2?200,??0.05,t?/2(n1?n2?2)?t0.025(398)?z0.025?1.96,2(n1?1)s12?(n2?1)s2199?(0.2182?0.1762)sw???0.1981, n1?n2?2398t?x?y(0.532?0.57)???1.918;1111sw?0.1981??n1n2200200t?t0.025(398).所以接受H0，认为两批强度均值无显著差别. 8.两位化验员A，B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A，B所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA2，σB2，试在水平?=0.05下检验方差齐性的假设 2222H0:?A??B;H1:?A??B. 【解】 2n1?n2?5,??0.05,s12?0.4322,s2?0.5006,F?/2(n1?1,n2?1)?F0.025(4,4)?9.6,F0.975(4,4)?11??0.1042,F0.025(4.4)9.6 s120.4322F?2??0.8634.s20.5006那么F0.975(4,4)?F?F0.025(4,4). 所以接受H0，拒绝H1.
数理统计习题
