**
《高等数学复习》教程
第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限
3.连续
二、题型与解法 A.极限的求法
函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.limarctanx?xln(1?2x)3x??0?limarctanx?x2x3x??0??16（等价小量与洛必达）
2.已知limsin6x?xf(x)x3x??0?0，求lim6?f(x)x2
x??0解：x??0limsin6x?xf(x)x3?lim6cos6x?f(x)?xy'3x2x??0
?lim??36sin6x?2y'?xy''6x6x??0?lim?216cos6x?3y''?xy'''6x??0?216?3y''(0)
?0?y''(0)?72y'2xy''2722lim6?f(x)x2x??0?limx??0?limx??0??36 （洛必达）
3.lim(x??12xx?12x)x?1 （重要极限）
4.已知a、b为正常数，求lim(x??03a?b2xx3)x
解：令t?(a?b2xx)x,lnt?3x[ln(a?b)?ln2]
xxlimlnt?limx??03a?bxxx??03/2(alna?blnb)?xx32ln(ab)（变量替换）
?t?(ab)15.lim(cosx)x??0ln(1?x)2
1解：令t?(cosx)ln(1?x)2,lnt?1ln(1?x)12?t?e2ln(cosx)
limlnt?limx??0?tanx2xx??0???1/2（变量替换）
6.设f'(x)连续，f(0)?0,f'(0)?0，求lim?xx02f(t)dtx0x??0?1
f(t)dt2?（洛必达与微积分性质）
?ln(cosx)x?2,x?07.已知f(x)??在x=0连续，求a
a,x?0?解：令a?limln(cosx)/x??1/2 （连续性的概念）
x??02
三、补充习题（作业） 1.lime?1?x1?x?cos1sinx?t2xx??0x1x??3 （洛必达）
2.limctgx(x??0?) （洛必达或Taylor）
3.lim
x?e0xdt2x??01?e?x?1 （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程
理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
2.微分中值定理 3.应用
二、题型与解法
A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
dy?x?arctant1.y?y(x)由?决定，求 2tdx?2y?ty?e?52.y?y(x)由ln(x?y)?xy?sinx决定，求
23dydx|x?0?1
解：两边微分得x=0时y'?ycosx?y，将x=0代入等式得y=1 3.y?y(x)由2B.曲线切法线问题
xy?x?y决定，则dy|x?0?(ln2?1)dx
??/2（e4.求对数螺线??e在（?，?）?,?/2)处切线的直角坐标方程。
???x?ecos??/2解：?,(x,y)|???/2?(0,e),y'|???/2??1
???y?esin?y?e?/2??x
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
考研高等数学复习资料大全
