中考数学专题训练5.二次函数压轴题

二次函数压轴题

1. 如图①，抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0

(2)若PN∶MN＝1∶3，求m的值；

(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O3

逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP2、BP2，求AP2＋2BP2的最小值．

图① 图②

第1题图

解：(1)∵A(4，0)在抛物线上， 1∴0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得a＝－2；

123

(2)由(1)可知抛物线解析式为y＝－2x＋2x＋2，令x＝0可得y＝2，

1

∴OB＝2， ∵OP＝m， ∴AP＝4－m， ∵PM⊥x轴， ∴△OAB∽△PAN， ∴OBPN2PNOA＝PA，即4＝4－m，

∴PN＝1

2(4－m)， ∵M在抛物线上， ∴PM＝－1m2＋3

22m＋2， ∵PN∶MN＝1∶3， ∴PN∶PM＝1∶4，

∴－12m2＋31

2m＋2＝4×2(4－m)， 解得m＝3或m＝4(舍去)， 即m的值为3；

(3)如解图，在y轴上取一点Q，使OQ3

OP2

＝2， 2

第1题解图

由(2)可知P1(3，0)，且OB＝2， ∴OP2＝3

OB2，且∠P2OB＝∠QOP2， ∴△P2OB∽△QOP2， ∴QP2OP23BP2

＝OB＝2，

∴当Q(0，93

2)时，QP2＝2BP2， ∴AP3

2＋2BP2＝AP2＋QP2≥AQ，

∴当A、P2、Q三点在一条直线上时，AP2＋QP2有最小值， 又∵A(4，0)，Q(0，9

2)，

∴AQ＝42

＋（92）2＝1452，

即AP31452＋2BP2的最小值为2.

2. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于

A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点

P是x

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