(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法
相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论
⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为点连线斜率小于1. ⑵ex?x?1 ⑶x?ln(x?1) ⑷lnx?x?ex,x?0. 将这些不等式简单变形如下：
sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与原x1?11?lnx?x?1,ex?x?1,ex?ex,lnx??那么很多问题将迎刃而解。 xex例析：（2018年广州一模）设f(x)?ax?lnx?1,若对任意的x?0,f(x)?x?e2x恒成立，求a的取值范围。
放缩法：由e?x?1可得：
xlnx?1xex?(lnx?1)e2x?lnx?(lnx?1)2x?lnx?1?(lnx?1)e?????2
xxxx2x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩
（放缩成一次函数）lnx?x?1，lnx?x，ln?1?x??x （放缩成双撇函数）lnx?1?1?1?1?x?x?1lnx?x?，???????0?x?1?， 2?x?2?x?lnx?x?11?x?1?，lnx?x??0?x?1?， xx（放缩成二次函数）lnx?x2?x，ln?1?x??x?12x??1?x?0?，21ln?1?x??x?x2?x?0?
2（放缩成类反比例函数）lnx?1?2?x?1?2?x?1?1x?1lnx?，lnx?， ???0?x?1?，
x?1x?1xln?1?x??x2x2x，ln?1?x???x?0?，ln?1?x???x?0?1?x1?x1?x
第二组：指数放缩
（放缩成一次函数）ex?x?1，ex?x，ex?ex，
11x，x?0e?????x?0?，
1?xx111（放缩成二次函数）ex?1?x?x2?x?0?，ex?1?x?x2?x3，
226（放缩成类反比例函数）ex?第三组：指对放缩
ex?lnx??x?1???x?1??2
第四组：三角函数放缩
111sinx?x?tanx?x?0?，sinx?x?x2，1?x2?cosx?1?sin2x.
222第五组：以直线y?x?1为切线的函数
1y?lnx，y?ex?1?1，y?x2?x，y?1?，y?xlnx.
x拓展阅读：为何高考中总是考e和lnx这些超越函数呢？因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。作为学生没有多大必要去去了解大学的知识，但是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式。即从某个点x0处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有：
x
（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数f(x)?(x?2)e?a(x?1)有两个零点x1,x2.（1）求a的取值范围，（2）证明：x1?x2?2.
x2f?(x)?(x?1)ex?2ay?f?x?f(x)?(x?2)e?a(x?1)解：（1）由得：，要使得有
x2??两个零点，则必须使得
y?f??x?在R上只有一个根，易得a?0，详细过程请参考高考参考
答案，这里不做详细叙述；
x2x2f(x)?(x?2)e?a(x?1)?0(2?x)e?a(x?1)?0; （2）法一：即
x2??(2?x1)e1?a(x1?1)?x2?(2?x)e?a(x2?1)2f(x)?f(x)?02?12由得，两式相减得
(2?x1)ex1?(2?x2)ex2?a(x1?x2)(x1?x2?2),
下面用反证法证明x1?x2?2.若x1?x2?2.
x1x2x1x1(2?x)e?(2?x)e?0,(2?x)e?(2?x)e1211则，
取对数得ln(2?x1)?x1x2?x1?1.?ln(2?x2)?x2,则ln(2?x1)?ln(2?x2)而由对数平均不等式得：
x2?x1(2?x1)?(2?x2)(2?x1)?(2?x2)x?x???2?12?1ln(2?x1)?ln(2?x2)ln(2?x1)?ln(2?x2)22，矛盾。
(2?x1)ex1(2?x2)ex2a??22x?1?x2?2(x?1)(x?1)12法二：参变分离得：，有a?0得，1，将上述等式两边
ln(2?x1)(2?x2)?x1?ln?x22(x1?1)(x2?1)2取得:故
以
e为底的对数，得，化简
[ln(x1?1)2?ln(x2?1)2]?[ln(2?x1)2?ln(2?x2)2]?x1?x2，
[ln(x1?1)2?ln(x2?1)2][ln(2?x1)2?ln(2?x2)2]1??x1?x2x1?x2[ln(x1?1)2?ln(x2?1)2][ln(2?x1)2?ln(2?x2)2]?[(x1?1)?(x2?1)]?(x1?1)2?(x2?1)2(2?x1)?(2?x2)
由对数平均不等式得：
[ln(x1?1)2?ln(x2?1)2]2?(x1?1)2?(x2?1)2(x1?1)2?(x2?1)2，
[ln(2?x1)2?ln(2?x2)2]2?(2?x1)?(2?x2)(2?x1)?(2?x2)，从而
19届 高考导数解答题中常见的放缩大法
