?……2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛
线…九 年 级 初 赛 试 题
… ? …（时量：90分钟 满分：100分）
…封
：…一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
号…考?题 … 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 …0 密 答 … … ?案 … ：…场线1．设P＝22012?122013?1考……22013?1，Q＝22014?1，则P与Q的大小关系是
? A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．不能确定
… 2．边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有
… 封A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
…3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线y?x?2 与 … 直线y?kx?4的交点为整点时，k的值可以取 ? …A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 … 密4．若二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则点（a?b，ac）在
：…名…A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 姓? … y … D 线 A AD … … ? … O … xO C B 封 ：… 校…
第4题 BC第5题
第6题
学?…5．如图，矩形ABCD被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD的面…密积等于
…A．152 B．143 C．132 D．108 …?6．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA＝DC，∠AOC＝160°，则∠BCO等于 …A． 20° B． 30° C． 40° D． 50°
…?7．已知锐角△ABC中，∠A＝60°，BD和CE都是△ABC的高。如果△ABC的面积为12，
那么四边形BCDE的面积为 A．6 B．8
C．9 D．10
8．一个商人用m元（m是正整数）买来了n台（n为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n的最小值是 A．11 B．13 C．17 D．19 9．直线y?12x?k与x轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，那么，k的取值范围是 A．k≤1 B． 0＜k≤1 C．－1≤k≤1 D． k≤－1或k≥1
10．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，AB?BC?CD?6,
BE?5，则梯形ABCD的面积等于
D C
A． 13 B． 8 E C． 132 D． 4 A
B
第10题
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．实数a，b满足(a?3)2?b?2?(a?5)2b2?1?3?a，则a?b? ． 12．若a?2b?3c?5, 5a?6b?7c?8，则9a?2b?5c? .
13．若m，n是一元二次方程x2?3x?1?0的两个根，则m2?2m?n???? ????? ．
14．已知xy?3，那么xyx C
x?yy的值是 ． 15．如图，在△ABC中，中线CM与高线CD三等分?ACB，
则?B等于 度. A
D M B
第15题
16．已知
a?bc?b?cc?aa?b?t，那么直线y?tx?t一定通过第 象限． 17．不论k取什么实数，关于x的方程
2kx?a3?x?bk6?1（a、b是常数）的根总是x＝1，那么a?b? ．
18．如图, AB是半径为R的圆O的直径, 四边形CDMN
和DEFG都是正方形. 其中C,D,E在AB上, F,N
第18题
在半圆上，则两个正方形的面积之和为?? ????? ．.
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
19．（本题满分14分）
如图，已知一次函数y??3x?23的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与正比例函数y?3x的图象交于点C，点D是线段OB上的一个动点（不包含O、B两点），以AD为边在其一侧作等边三角形ADE，DE交AB于F，AD交OC于G.
20．（本题满分14分）
如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的直角顶点D与原点重合，另一直角顶点A在y轴的正半轴上，点B、C的坐标分别为B（12，8）、C（14，0），AD为⊙E的直径.，点M、N分别从A、C两点同时出发做匀速运动，其中点M沿AB向终点B运动，速度为每秒1个单位；点N沿CD向终点D运动，速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.
（1）如图2，设点M、N的运动时间为t秒，当t为何值时，四边形MBCN为平行四边形？ (1)分别求出A、B、C三点的坐标； (2)△ADF和△ACG是否相似，为什么？ (3)证明CE总与AB垂直.
y B E D F C G O A x （2）在（1）的条件下，连结DM与⊙E相交于点P，求弦DP的长；
（3）已知二次函数的图象经过D及（1）中的点M、N，求该二次函数的解析式；
（4）在运动过程中，是否存在使直线MN与⊙E相切的情形？如果存在，请求出直线MN的解析式；如果不存在，请说明理由.（图3供解答本小题用）
长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九年级初赛试题及答案
