2024年广东省新高考数学一轮复习 第十一讲《坐标系与参数方程》
第一节 坐标系
知识点1 伸缩变换
??x′＝λ·x，?λ＞0?，?其中点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)． ?y′＝μ·y，?μ＞0?，?
知识点2 极坐标系与点的极坐标
在如图极坐标系中，点O是极点，射线Ox是极轴，θ为极角(通常取逆时针方向)，ρ为极径(表示极点O与点M的距离)，点M的极坐标是M(ρ，θ)．
知识点3 直角坐标与极坐标的互化
设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
??x＝ρcos θ，则???y＝ρsin θ，
ρ2＝x2＋y2，??
? ytan θ＝?x≠0?.?x?
[拓展]
常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 过点(a,0)(a＞0)，且与极轴垂直的直线 π过点a，(a＞0)，且与极轴平行2的直线 ρ＝r(0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ππρ＝2rcos θ－≤θ＜ 22 ππρcos θ＝a－＜θ＜ 22过极点，倾斜角为α的直线 ρsin θ＝a(0＜θ＜π) 圆心在极点，半径为r的圆 2024年广东省新高考数学一轮复习 第 1 页 共 21 页
π圆心为r，，半径为r的圆 2 1．(知识点3)下列极坐标方程表示圆的是( ) π
A．θ＝
2C．ρ(sin θ＋cos θ)＝1 答案：D
B．ρsin θ＝1 D．ρ＝1
ρ＝2rsin θ(0≤θ≤π) 2．(知识点3)已知点M的直角坐标是(－1，3)，则点M的极坐标为______________． 22，π? 答案：??3?
π
3．(知识点3)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ 上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是
3________．
答案：6
考点一 伸缩变换
1??x′＝2x，
1．曲线C经过伸缩变换?后，对应曲线的方程为：x′2＋y′2＝1，求曲线C
??y′＝3y的方程．
1??x′＝2x，
解：曲线C经过伸缩变换?①后，对应曲线的方程为：x′2＋y′2＝1 ②，
??y′＝3y，x2
把①代入②得曲线C的方程为＋9y2＝1.
4
2．在同一平面直角坐标系中，求直线2x－y＝4变成x′－y′＝2的伸缩变换．
??x′＝λx?λ＞0?，
解：设其伸缩变换为φ：?
?y′＝μy?μ＞0?，???2λ＝2，
则λx－μy＝2,2λx－2μy＝4，于是?
?－2μ＝－1，?
λ＝1，x′＝x，????
解得?1所以φ：? 1
μ＝.y′＝y.??2?2?
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故将直线2x－y＝4上的所有点的横坐标保持不变， 1
纵坐标变为原来的，可得直线x′－y′＝2.
2
?x′＝3x，
3．求正弦曲线y＝sin x按φ：?1
y′＝?2y?x′＝3x，
在变换φ：?1
y′＝?2y
1
1
变换后的函数解析式．
解：(1)设点P(x，y)为正弦曲线y＝sin x上的任意一点，
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)．
?x＝3x′，?
即φ?代入y＝sin x得2y′＝sin 3x′，
?y＝2y′，?
11
所以y′＝sin 3x′，即y＝sin 3x为所求．
22
??x′＝λx?λ＞0?，
平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：?的作用下的变换方程的求法是将
?y′＝μy?μ＞0??
，?x＝x′λ
?y′?y＝μ的方程．
y′x′
代入y＝f(x)，得＝f??，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后
μ?λ?[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．
考点二 极坐标与直角坐标的互化
[例1] (2024·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
|－k＋2|
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2＝2，故k＝
k＋1
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