专题14 三角形中的面积问题
与三角形面积有关的问题一直是高考的热点与重点，解决此类问题的难点是如何建立起角与边的数量关系．本专题主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式等工具研究三角形面积问题，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法.
(2019·全国新课标卷)若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
A＋Casin＝bsinA，且c＝1，则△ABC面积的取值范围是_________．
2
本题考查正、余弦定理在求三角形面积的大小与范围中的应用，先从条件出
发，运用正弦定理化边为角，再利用三角公式求出角B，由余弦定理将b边用a边表示，最后将三角形的面积S表示为边长a的函数，并由已知条件求出a的取值范围(即定义域)，最后利用函数性质求出S的值的取值范围.
在△ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB，且a
π
＝2，B＝，则△ABC的面积是_________．
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锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsinC＝acosC＋ccosA，
c＝3，则△ABC面积的最大值是_________．
在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知3a·sinC＝c·sin2A，
a＝7，b＝23，则△ABC的面积是_________．
(2020·苏州模拟)设△ABC角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D为AB的中点，
若b＝acosC＋csinA且CD＝2，则△ABC的面积最大值为________．
(2020·南通模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，S为△ABC
的面积．若不等式kS≤3b2＋3c2－a2恒成立，则实数k的最大值为________．
?→→?
(2020·镇江模拟)在等腰△ABC中，AB＝AC，??＝26，则△ABC面积的
?AC＋BC?
最大值为_________．
4
→→＝26，所以→→→＝26，即→→＝26， 因为AC＋BCAC＋AC－AB2AC－AB
→→→→2
两边平方得4AC2－4AC·AB＋AB＝24，令AB＝AC＝x，则5x2－4x2cosA＝24，解得cosA＝5x2－24
， 4x2
?5x2－24?2
2
因为A是△ABC的内角，所以sinA＝1－cosA＝1－
16x4
?5x2－24?21112
所以S△ABC＝AB·ACsinA＝x·1－＝－9x4＋240x2－576 42216x81401＝－9?x2－?2＋1024≤1024＝4. 838 如图14-2，以直线BC为x轴，以线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
1
设A(0，m)，B(－n,0)，C(n,0)，则S△ABC＝·2n·m＝mn，
2
→→→→＝26， AC＝(n，－m)，BC＝(2n,0)，因为AC＋BC
||
||||
||
所以9n2＋m2＝26，即m2＋9n2＝24.由基本不等式：24＝m2＋9n2≥2m2·9n2＝6mn，即mn≤4，当且仅当m＝3n＝23时取“＝”．所以S△ABC＝mn≤4，即△ABC面积的最大值
为4.
图14-2
→→＝26得：→→＝26，取AB的中点O，则有→→ 由AC＋BCCA＋CBCA＋CB
||
||||
→＝26，所以OC＝6.如图14-＝2CO3，以O为原点，OC所在的直线为x轴，与OC垂
直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则C(6，0)，由题意：AC＝AB＝2AO，设A(x，y)，
681
则?x－6?2＋y2＝2x2＋y2，化简得：(x＋)2＋y2＝，S△ABC＝2S△AOC＝2×OC·|yA|≤6
332
8×＝4，所以△ABC面积的最大值为4.
3
||
图14-3
作业评价
π
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，c＝3且∠A＝.则△ABC
3
的面积是________．
在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，
则△BDC的面积是________．
(2018·全国Ⅲ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的
a2＋b2－c2
面积为，则C＝________.
4
(2020·北京模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b>c，a
＝6，b＝5，△ABC的面积为9.则sinB的值是________．
如图14-4所示，在△ABC中，已知AC＝7，∠B＝45°，D是边AB上的一点，AD
＝3，∠ADC＝120°.则△ABC的面积是________．
图14-4
1
已知△ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足a＋＋4cosC＝0，
a
b＝1，若△ABC的面积为
已知在△ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足c＋a＝2b,5(c－
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a)＝2b，若a＝，则△ABC的面积是________．
sinC
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在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA＝，tan(B－A)＝，
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且c＝13，则△ABC的面积是________.
(2018·九章密卷)我国南宋时期数学家秦九韶的著作《数书九章》中记载了求三角
形面积的“三斜求积”方法，相当于如下公式：
S△ABC＝
1?22?c2＋a2－b2?2?
ca－4?2???.
3
，则a的值是_________． 2
5
现已知△ABC的周长为42，面积为84，且cosB＝，则边AC的长为________．
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如图14-5所示，等腰△ABC腰上的中线BD为定长3，当顶角α变化时，则△ABC
面积的最大值为____．
图14-5
2020届高考数学二轮复习专题《三角形中的面积问题》
