2012年第八届湖南省大学生力学竞赛试题及参考答案 考试方式 闭卷 考试时间 120 分钟 学校 专业 班级 学号 姓名 题 号 得 分 一 二 三 四 五 总分 阅卷 教师 ……………………………………………………………………………………………………………… 得 分 一. 导槽滑块机构图示瞬时，杆AB速度为u，杆CD速度为v，? 角已知，且AC?l,??求导槽AE的角速度（本题20分）。 解：应用点的合成运动方法确定CD杆上C点与AE杆上接触点C'之间的速度关系 取CD杆上C为动点，动系固结于AE，静系固结于机架；则 vc ?vc'?vr （a） （5分） 应用平面运动方法确定AE上A、C'点之间速度关系 vc'?vA?vc?A （b） （10分） 将（b）代入（a）得 vc?vA?vC?A?vr
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作速度矢量图，并投影到vr与垂直轴上 ????且vc?v,vA?u 有 vCcos???vAsin? ?vC?A 即 vC?A ?vcos? ?usin? （15分） 所以 ?AE? vC?Avcos??usin??ACl （20分） 得 分 二. 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程(本题25分)。 图2 解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x , ?为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置, ? 逆时针转向为正。 ???vB?(x?l?cos?)2?(l?sin?)2??2x???l???xl?cos?222 （3分） 系统动能： T?111122222??????m1x?m2vB?m1x?m2(x?l2??2xl?cos?)22222 （6分） 1122?????(m1?m2)x?m2l2??m2xl?cos?22系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点） 1U?kx2?m2glcos? （9分） 2拉格朗日函数：
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L?T?U （12分） 1112222?????(m1?m2)x?m2l??m2xl?cos??kx?m2glcos?222?L?L???(m1?m2)x?m2l?cos?,??kx ??x?xd?L2???? ?(m1?m2)?x?m2l?cos??m2l?sin? （16分） ?dt?x ?L?L??m2x????m2l2?lcos?,??m2xl?sin??m2glsin? ?????d?L??????m2l2??m2?xlcos??m2xl?sin? （20分） ?dt??d?L?L??0 ?dt?q?qjj 代入 并化简 2????x?m2l?cos??m2l?sin??kx?0 (m1?m2)???? ?xcos??l??gsin??0 系统的运动微分方程 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时??0，cos??1，sin???，略去二阶以上无穷小量，则 ???x?m2l??kx?0 (m1?m2)????x?l??g??0 ?上式为系统在平衡位置(x =0, ? =0)附近微幅运动的微分方程。 （25分） 得 分 三．如图所示AB梁，AC段受均布载荷q作用，梁与支座C处有一间隙d?l1200，试求AB梁在C位置处的弯矩值。[本题15分] qAEIlCEIlBd 图3 解：(1) 若加载后梁与C支座仍未接触，则弯矩图与相应简支梁相同。AB梁的弯
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第八届湖南省大学生力学竞赛试题及参考标准答案湘潭大学
