数值分析课程设计题目与要求
（10级应数及创新班）
[设计题一]
编写顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的函数，再分别调用这两个函数求解下面的84阶方程组：
= ，
然后考虑将方程组的阶数取为10至100之间多个值进行求解。将你的计算结果与方程组的精确解进行比较。从“快”、“准”、“省”三个方面分析以上两个算法，试提出改进的算法并加以实现和验证。
[设计题二]
编写平方根法和改进的平方根法（参见教材《计算方法》P54的例题2.5）的函数，然后分别调用这两个函数求解对称正定方程组Ax=b，其中A和b分别为：
（1） 系数矩阵A为矩阵（阶数取为10至100之间多个值）:
，
向量b随机地选取；
（2） 系数矩阵A为Hilbert矩阵（阶数取为5至40之间多个值），即A的第i行第j列元素
，向量b的第i个分量取为
行比较。
若出现问题，分析其原因，提出改进的设想并尝试实现之。
。将你的计算结果与方程组的精确解进
[设计题三]
2*对于迭代法 xk?1?0.99xk?xk(k?0,1,2,......)， 它显然有不动点x?0。试设计2个数值实验
得到收敛阶数的大概数值（不利用判定收敛阶的判据定理）：
（1） 直接用收敛阶的定义； （2） 用最小二乘拟合的方法。
[设计题四]
湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温T看成深度x的函数T(x),有某个湖的观测数据如下：
环境工程师希望：
1） 用三次样条插值求出T(x)。
T ( 0C ) x ( m ) 22.8 0 22.8 2.3 22.8 4.9 20.6 9.1 13.9 13.7 11.7 18.3 11.1 22.9 11.1 27.2 d2TdT?0 ）2） 求在什么深度处的绝对值达到最大（ 即。 2dxdx
[设计题五]
某飞机头部的光滑外形曲线的型值点坐标由下表给出:
i xi yi 0 0 0 1 70 57 2 130 78 3 210 103 4 337 135 5 578 182 6 776 214 7 8 9 10 1012 1142 1462 1841 244 256 272 275 试建立其合适的模拟曲线（未必是用拟合方法），并求在点x＝100，250，400，500，800处的函数．．．值y及一阶、二阶导数值y’，y”。绘出模拟曲线的图形。
[设计题六]
给定初值问题
其精确解为 ，分别按下列方案求它在节点
处的数值解及误差。比较各方法的优缺点，并将计算结
果与精确解做比较（列表、画图）。 （方案I）欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1； （方案II）改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1； （方案III）四阶经典龙格—库塔法，步长h = 0.1。
[设计题七]
生态环境学家在研究自然界中两个生物种群数目变化时得到一组常微分方程。
假设有两种生物（例如一种是蓝鲸，另一种是南极磷虾），前者在时刻t时的数量为x1(t)，后者在
时刻t时的数目为x2(t)，并假设它们都是t的连续可微函数。蓝鲸是以磷虾为主要食物的。当没有食物来源时蓝鲸数目会减少，其减少速度与当时蓝鲸的数目成线性关系，即
dx1??cx1(t) . （1） dt当有食物来源时，蓝鲸的数目会增加。增加的速度和它捕食的数目有关，即
dx1= dx1(t) x2(t) . （2） dt合并（1）和（2），得到蓝鲸变化速度满足的微分方程
dx1??cx1(t)? dx1(t) x2(t). (3) dtdx2=ax2(t). (4) dtdx2=ax2(t)－bx1(t) x2(t). (5) dt?dx1??cx1?dx1x2??dt （6） ??dx2?ax?bxx212??dt同样，在没有蓝鲸时，磷虾的增加速度满足
考虑到被捕食情况，则磷虾的数目满足
合并（3）和（5），得到著名的Lotka-Volterra方程
其中a,b,c,d均为正常数。
（6）是一个非线性常微分方程组，不可能有解析解。
假设a?1.2,b?0.6,c?0.8,d?0.3,而且初始值为x1(0)=2, x2(0)=1.
1） 分别用欧拉法、改进的欧拉法和四阶经典龙格—库塔法，取多种步长求解（6）。 把x1(t) 和x2(t)
画在同一张图上，并给予解释。 2） 把（6）的两个方程相除，得到
dx2ax2?bx1x2? （7） dx1?cx1?dx1x2尝试用数值方法求出x2~x1之间的函数关系。并把它画在以x1,x2为坐标的图上，对所得结果加以解释。
[要求]
一、设计题必须用Matlab完成；设计题一、二、三必做；设计题四、五选做一题，设计题六、七选做
一题（也可全做）。
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