一、选择题
1．(2010年高考四川卷)2log510＋log50.25＝( ) A．0 B．1 C．2 D．4
解析：选C.2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25 ＝log5(100×0.25)＝log525＝2.故选C.
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
解析：选A.法一：∵函数y＝f(x)关于x＝1对称的充要条件是f(x)＝f(2－x)，∴x2＋mx＋1＝(2－x)2＋m(2－x)＋1，化简得(m＋2)x＝m＋2，∴m＋2＝0，即m＝－2.
mm
法二：∵f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－2，∴－2＝1，即m＝－2，故选A.
3．某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元则减少10张客床租出．这样，为了减少投入多获利，每床每天收费应提高( )
A．2元 B．4元 C．6元 D．8元
解析：选C.设每床每天收费提高2x元(x∈N*)，则收入为：y＝(10＋2x)(100－10x)＝
5
－20(x－2)2＋1125(x∈N*)，
∴当x＝2或3时，y取最大值，
当x＝2时，y＝1120，当x＝3时，y＝1120.为满足减少投入要求应在收入相同条件下多空出床位，故x＝3.故选C.
2
?x＋2x－3，x≤0
4．函数f(x)＝?与x轴交点的个数为( )
?－2＋lnx，x>0
A．0 B．1 C．2 D．3
?x≤0
解析：选C.由?2，得x＝－3.
?x＋2x－3＝0
??x>0又?
?－2＋lnx＝0?
，得x＝e2，
∴f(x)与x轴的交点个数为2.故选C.
1
5．已知y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝2x，设a＝f(2)，b＝4
f(3)，c＝f(1)，则a、b、c的大小关系为( )
A．a C．b 解析：选B.f(x＋1)是R上的偶函数?f(x)关于x＝1对称，而f(x)＝2x在区间[1,2]上单 134 调递增，则有a＝f()＝f()>b＝f()>c＝f(1)，故选B. 223 二、填空题 6．函 ax＋b?x≤0??? 数f(x)＝?的图象如图所示，则a＋b＋c＝________. 1 log?x＋??x>0??9?c 1 解析：由图象可求得直线的方程为y＝2x＋2，所以a＝2，b＝2.又函数y＝logc(x＋9)1113 的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c＝3，所以a＋b＋c＝2＋2＋3＝3. 13答案：3 1－x11 7．已知函数f(x)＝－x＋log2，则f(2011)＋f(－2011)的值为________． 1＋x 解析：f(x)的定义域为(－1,1)， 1－?－x? ∵f(－x)＝－(－x)＋log2 1＋?－x? 1－x ＝－(－x＋log2)＝－f(x)， 1＋x ∴f(x)为奇函数， 11∴f()＋f(－)＝0. 20112011答案：0 8．定义：区间[x1，x2](x1 1115 解析：由0≤|log0.5x|≤2，解得4≤x≤4，所以[a，b]长度的最大值为4－4＝4. 15答案：4 三、解答题 ax＋1 9．已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于y＝x对 1－ax 称． (1)求g(x)的解析式； (2)讨论g(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于直线y＝x对称， ∴g(x)为f(x)的反函数． ax＋1y－1x 由y＝， x，得a＝1－ay＋1 x－1 ∴g(x)＝f－1(x)＝loga， x＋1 y－1 ∵ax>0，∴>0，∴y<－1或y>1. y＋1 x－1 (x<－1或x>1)． x＋1 (2)设1 g(x)在(1，＋∞)上是增函数． 10．(2010年高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm) k 满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x) 3x＋5 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． k 解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝， 3x＋5 40 再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 3x＋5 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝4080020×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． 3x＋53x＋5 800800 (2)f(x)＝＋6x＋10－10＝＋2(3x＋5)－10 3x＋53x＋5 ≥21600－10＝70， 800 当且仅当＝2(3x＋5)， 3x＋5 即x＝5时，等号成立． 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)与x轴交点的个数； (2)是否存在a、b、c∈R，使f(x)同时满足以下条件： ①f(－1＋x)＝f(－1－x)，且f(x)≥0； 1 ②0≤f(x)－x≤2(x－1)2? 若存在，求出a、b、c的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，b＝a＋c. ∵Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2， 当a＝c时，Δ＝0，函数f(x)与x轴有一个交点； 当a≠c时，Δ>0，函数f(x)与x轴有两个交点． (2)假设a、b、c存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1， b1 ∴－2a＝－1，即b＝2a.由②知0≤f(x)－x≤2(x－1)2.令x＝1，得0≤f(1)－1≤0?f(1)－1＝0?f(1)＝1?a＋b＋c＝1. ∴g(x)＝loga ?a>0， 又∵f(x)－x≥0恒成立，∴? ??b－1?2－4ac≤0， ∴(a＋c)2－4ac≤0，即(a－c)2≤0，即a＝c. ?a＋b＋c＝1，由?b＝2a，?a＝c， 11 得a＝c＝4，b＝2， 111111 当a＝c＝4，b＝2时，f(x)＝4x2＋2x＋4＝4(x＋1)2，其顶点为(－1,0)，满足条件①.又11 f(x)－x＝4(x－1)2?0≤f(x)－x≤2(x－1)2，满足条件②. 11 综上，存在a、b、c∈R，使f(x)同时满足条件①、②，且a＝c＝4，b＝2.
能力极限突破2013高考数学二轮必备第一部分专题突破方略专题一《第三讲二次函数、指数函数与对数函数》
