2 倒立摆系统的模型建立
2.1 倒立摆特性
? 非线性
倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
? 不确定性
模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。
? 耦合性
倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
? 开环不稳定性
倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。
? 约束限制
由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。
2.2 一阶倒立摆数学模型
倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。
2.2.1 一级倒立摆物理模型
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示：
摆杆皮带 导轨皮带轮
图2.1 单级倒立摆系统物理模型
2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值：
表2.1 一级倒立摆参数表
参 数 M m b l I f x
参数意义 小车质量 摆杆质量 小车摩擦系数
摆杆转动轴心到杆质心的长度
摆杆转动惯量 加到小车上的力 小车位置
摆杆与竖直向上方向的夹角
参数值 1.096Kg 0.13Kg 0.1N/m/sec 0.25m 0.0034Kg*m*m
?
通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：
F?(M?m)x?bx?ml?cos??ml?2sin? (2.1) (I?ml2)??mglsin??mlxcos??2ml2sin?(?sin???cos?) (2.2)
?M?m??mlcos??F?bx?mlsin??2??x??? (2.3) ?????2ml2sin2??I?ml2??????mglsin??2ml2sin?cos????mlcos?2.3 二阶倒立摆数学模型
2.3.1 二级倒立摆物理模型
如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型
摆杆皮带 导轨皮带轮
图2.3二级倒立摆系统的物理模型
倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。摆体与摆体之间，摆体与小车之间由转轴连接，在连接处有两个光电编码器分别用来测量两个摆杆的角度，在轨道一端有伺服电机，并装有用来测量小车位移的光电编码器。小车由伺服电机，皮带，皮带轮带动可以沿导轨左右运动，从而使两摆体稳定在竖直位置。并且可以定位跟踪在导轨的某一特定位置。
2.3.2 二级倒立摆数学模型
表2.2 二级倒立摆参数表
参 数 M m1 m2 m3 J1 J2 l1 l2
参数意义 小车质量 摆杆1质量 摆杆2质量 摆杆3质量 摆杆1转动惯量 摆杆2转动惯量 摆杆1中心到转动中心的距离 摆杆1中心到转动中心的距离 摆杆1与竖直方向的夹角 摆杆2与竖直方向的夹角 作用在系统上的力
参数值 1.096Kg 0.13Kg 0.05Kg 0.236kg 0.0002Kg*m*m 0.0034Kg*m*m 0.0775m 0.25m
?1 ?2 F
利用拉格朗日方程推导运动学方程： 拉格朗日方程为：
L(q,q)?T(q,q)?V(q,q) (2.4)
其中L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标。T为系统的动能，V为系统的势
能。
d?L?L??fi (2.5) dt?qi?qi其中i?1,2,3......n，fi为系统在第i个广义坐标上的外力，在直线型二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有三个，分别是x,?1,?2。
首先计算系统的动能：
T?TM?Tm1?Tm2?Tm3 (2.6)
其中TM,Tm1,Tm2,Tm3分别为小车动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量快的动能。
小车的动能：
TM?1Mx2 (2.7) 2而摆杆1和摆杆2的动能又由两部分组成：
'''Tm1?Tm1?Tm1 (2.8)
其中Tm'1,Tm''1分别为摆杆1的平均动能和转动动能。
''' Tm2?Tm2?Tm2 (2.9)
'''其中Tm2,Tm2分别为摆杆2的平均动能和转动动能。
对于二级倒立摆系统，我们设以下变量：
xp1 xp2 xm
为摆杆1质心横坐标；yp1 为摆杆1质心纵坐标； 为摆杆2质心横坐标；yp2 为摆杆2质心纵坐标； 为质量快质心横坐标；ym 为质量快质心纵坐标；
又有：
xp1?x?l1sin(?1)yp1?l1cos(?1)xp2?x?2l1sin(?1)?l2sin(?2)yp2?2l1cos(?1)?l2cos(?2)xm?x?2l1sin(?1)ym?2l1cos(?1) (2.10)
则有：
1d(xp1)2d(yp1)2m1(()?())2dtdt (2.11)
'Tm1?T''1212m1?2Jp1?1?6m1l1?21同理得到：
T'1d(xp2)2m2?2m((dt)?(d(yp2)dt)22) T''m2?1J21 222p2?2?6m2l2?2T'1d(xm)2d(ym)2m3?2m3((dt)?(dt)) 于是得到系统的总动能：
T?TM?Tm1?Tm2?Tm3 ?11d(xp1)2d(yp1)21222Mx2?2m1((dt)?(dt))?6m1l1?1?1d(xp2)2mdt)2?(d(yp2)dt)2)?16m222((2l2?2 ?1d(xm)2d(ym)22m3((dt)?(dt)) 系统的势能为：
V?Vm1?Vm2?Vm3 ?m1gyp1?m2gyp2?m3gym
?m1gl1cos?1?m2g(2l1cos?1?l2cos?2)?2m3gl1cos?1
由于系统在?1,?2广义坐标下没有外力作用，所以有：
d?Ldt????L?0 1??1
d?Ldt????L?0 2??2d?Ldt?x??L?x?u 展开得到
(2.12)
(2.13) (2.14)
(2.15) (2.16)
倒立摆建模与控制
