黑龙江省哈尔滨市2021届新高考数学三模试卷含解析

由天下分享时间：2024/9/7 18:05:34 加入收藏我要投稿点赞

【答案】（I）an?2n?1；（Ⅱ）2n?2?4 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）设等差数列由由所以可得（Ⅱ）设即

可得cn?2，且所以所以所以数列所以前n项和

，可知，

是首项为4，公比为2的等比数列．

．

．，则

，

． .

的公差为4，则依题设d?2．

,可得cn?2．，得

．

，可得

．

考点：等差数列通项公式、用数列前n项和求数列通项公式．

20．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：男生女士愿意 60 40 不愿意 20 40 （1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；

（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求

E(X)．

n(ad?bc)2附：K?，其中n?a?b?c?d．

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P?K2?k0? k0 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. 【解析】【分析】

（1）计算得到k?6.635，由此可得结论；

（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 【详解】

160??60?40?40?20?32（1）∵QK2的观测值k???10.667?6.635，

80?80?100?603?有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．

（2）根据分层抽样方法得：男生有10?232?6人，女生有10??4人， 55?选取的10人中，男生有6人，女生有4人．

则X的可能取值有0,1,2,3，

3021C6C4C6C201601?P?X?0??3??，P(X=1)=34==，

C101206C1012021203C6C436C6C341P(X=2)=3==，P?X?3??34??，

C1012010C1012030?X的分布列为： X P 0 1 1 22 3 103 1 301 611316?E?X??0??1??2??3??．

6210305【点睛】

本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率. 21．已知函数f(x)?x2?alnx?1(a?R)

（1）若函数f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；

（2）若函数g(x)?ex?x2?ex?f(x)?1?0对x?[1,??)恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）(??,0]?{2}；（2）[0,??). 【解析】【分析】

a2x2?a（1）求导得到f?(x)?，讨论a?0和a?0两种情况，计算函数的单调性，得到f(x)min?f()，

x2再讨论aaa?1，?1，?1三种情况，计算得到答案. 222（2）计算得到g?(x)?数最值，得到答案. 【详解】

axa?e?e,g??(x)?ex?2，讨论a?0，a?0两种情况，分别计算单调性得到函xx2x2?a（1）f(x)?x?alnx?1,f?(x)?，

x2①当a?0时f?(x)?0恒成立，所以f(x)单调递增，因为f(1)?0，所以f(x)有唯一零点，即a?0符合题意；

②当a?0时，令f?(x)?0,x?a， 2??a?a?a0,,?????函数在?上单调递减，在上单调递增，函数f(x)?f()。 min???2?22????（i）当即a?1,a?2,f(x)min?f(1)?0所以a?2符合题意， 2aa?1,0?a?2 时f()?f(1)?0， 22（ii）当即

?1a因为f(e)?e?1a?2a?1?1?e?2a?1?0,e?1a?1，

故存在x1?(e,a),f(x1)?f(1)?0所以0?a?2 不符题意 2（iii）当aa?1,a?2 时f()?f(1)?0， 222因为f(a?1)?(a?1)?aln(a?1)?1?a(a?2?ln(a?1))，

设a?1?t?1,a?2?ln(a?1)?t?1?lnt，

1所以h?(t)?1??0,?h(t)单调递增，即h(t)?h(1)?0,f(a?1)?0,a?1?ta， 2故存在x2?(a,a?1)，使得f(x2)?f(1)?0,a?2，不符题意； 2综上，a的取值范围为(??,0]?{2}。（2）g(x)?alnx?e?ex,g?(x)?xaa?ex?e,g??(x)?ex?2。 xx①当a?0时，g?(x)?0恒成立，所以g(x) 单调递增，所以g(x)?g(1)?0，即a?0符合题意；

②当a?0 时，g??(x)?0恒成立，所以g?(x)单调递增，又因为g?(1)?a?0,g?(ln(e?a)?aa(1?ln(e?a))?a??0，

ln(e?a)ln(e?a)所以存在x0?(1,ln(e?a))，使得g?(x0)?0，且当x?(1,x0)时，g?(x)?0。即g(x)在(1,x0)上单调递减，所以g(x0)?g(1)?0,a?0，不符题意。综上，a的取值范围为[0,??). 【点睛】

本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.

22．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单

?x?cos2????C:?sin????2位，建立极坐标系，已知曲线1，曲线C2:?（?为参数），求曲线C1，C2??4??y?sin??交点的直角坐标. 【答案】??1,?1? 【解析】【分析】

利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可. 【详解】因为?sin??????????2，所以?sin???cos???2， 4?所以曲线C1的直角坐标方程为x?y?2?0.

?x?1?2sin2??x?cos2?由?，得?， ?y?sin??y?sin?所以曲线C2的普通方程为x?1?2y2,y?[?1.1].

?x?y?2?02y2?y?3?0，由?2，得

?x?1?2y所以y1??1,y2?所以x1??1，

所以曲线C1，C2的交点坐标为??1,?1?. 【点睛】

本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 23．如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD?AB,AE?AB?BC?2AD?2,四边形EDCF为矩形,CF?3. 3（舍）， 2

（1）求证:平面ECF?平面ABCD;