【答案】(I)an?2n?1;(Ⅱ)2n?2?4 【解析】 【分析】 【详解】 (Ⅰ)设等差数列由由所以可得(Ⅱ)设即
可得cn?2,且所以所以所以数列所以前n项和
,可知,
是首项为4,公比为2的等比数列.
.
. ,则
,
. .
的公差为4,则依题设d?2.
,可得cn?2. ,得
.
,可得
.
.
考点:等差数列通项公式、用数列前n项和求数列通项公式.
20.金秋九月,丹桂飘香,某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生,对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查,统计数据如下: 男生 女士 愿意 60 40 不愿意 20 40 (1)根据上表说明,能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;
(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取10人.若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生,设选取的3人中女生人数为X,写出X的分布列,并求
E(X).
n(ad?bc)2附:K?,其中n?a?b?c?d.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P?K2?k0? k0 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;(2)详见解析. 【解析】 【分析】
(1)计算得到k?6.635,由此可得结论;
(2)根据分层抽样原则可得男生和女生人数,由超几何分布概率公式可求得X的所有可能取值所对应的概率,由此得到分布列;根据数学期望计算公式计算可得期望. 【详解】
160??60?40?40?20?32(1)∵QK2的观测值k???10.667?6.635,
80?80?100?603?有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关.
(2)根据分层抽样方法得:男生有10?232?6人,女生有10??4人, 55?选取的10人中,男生有6人,女生有4人.
则X的可能取值有0,1,2,3,
3021C6C4C6C201601?P?X?0??3??,P(X=1)=34==,
C101206C1012021203C6C436C6C341P(X=2)=3==,P?X?3??34??,
C1012010C1012030?X的分布列为: X P 0 1 1 22 3 103 1 301 611316?E?X??0??1??2??3??.
6210305【点睛】
本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解;关键是能够明确随机变量服从于超几何分布,进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率. 21.已知函数f(x)?x2?alnx?1(a?R)
(1)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数a的取值范围;
(2)若函数g(x)?ex?x2?ex?f(x)?1?0对x?[1,??)恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】(1)(??,0]?{2};(2)[0,??). 【解析】 【分析】
a2x2?a(1)求导得到f?(x)?,讨论a?0和a?0两种情况,计算函数的单调性,得到f(x)min?f(),
x2再讨论aaa?1,?1,?1三种情况,计算得到答案. 222(2)计算得到g?(x)?数最值,得到答案. 【详解】
axa?e?e,g??(x)?ex?2,讨论a?0,a?0两种情况,分别计算单调性得到函xx2x2?a(1)f(x)?x?alnx?1,f?(x)?,
x2①当a?0时f?(x)?0恒成立,所以f(x)单调递增,因为f(1)?0,所以f(x)有唯一零点,即a?0符合题意;
②当a?0时,令f?(x)?0,x?a, 2??a?a?a0,,?????函数在?上单调递减,在上单调递增,函数f(x)?f()。 min???2?22????(i)当即a?1,a?2,f(x)min?f(1)?0所以a?2符合题意, 2aa?1,0?a?2 时f()?f(1)?0, 22(ii)当即
?1a因为f(e)?e?1a?2a?1?1?e?2a?1?0,e?1a?1,
故存在x1?(e,a),f(x1)?f(1)?0所以0?a?2 不符题意 2(iii)当aa?1,a?2 时f()?f(1)?0, 222因为f(a?1)?(a?1)?aln(a?1)?1?a(a?2?ln(a?1)),
设a?1?t?1,a?2?ln(a?1)?t?1?lnt,
1所以h?(t)?1??0,?h(t)单调递增,即h(t)?h(1)?0,f(a?1)?0,a?1?ta, 2故存在x2?(a,a?1),使得f(x2)?f(1)?0,a?2,不符题意; 2综上,a的取值范围为(??,0]?{2}。 (2)g(x)?alnx?e?ex,g?(x)?xaa?ex?e,g??(x)?ex?2。 xx①当a?0时,g?(x)?0恒成立,所以g(x) 单调递增,所以g(x)?g(1)?0, 即a?0符合题意;
②当a?0 时,g??(x)?0恒成立,所以g?(x)单调递增, 又因为g?(1)?a?0,g?(ln(e?a)?aa(1?ln(e?a))?a??0,
ln(e?a)ln(e?a)所以存在x0?(1,ln(e?a)),使得g?(x0)?0,且当x?(1,x0)时,g?(x)?0。 即g(x)在(1,x0)上单调递减,所以g(x0)?g(1)?0,a?0,不符题意。 综上,a的取值范围为[0,??). 【点睛】
本题考查了函数的零点问题,恒成立问题,意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.
22.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单
?x?cos2????C:?sin????2位,建立极坐标系,已知曲线1,曲线C2:?(?为参数),求曲线C1,C2??4??y?sin??交点的直角坐标. 【答案】??1,?1? 【解析】 【分析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可. 【详解】 因为?sin??????????2,所以?sin???cos???2, 4?所以曲线C1的直角坐标方程为x?y?2?0.
?x?1?2sin2??x?cos2?由?,得?, ?y?sin??y?sin?所以曲线C2的普通方程为x?1?2y2,y?[?1.1].
?x?y?2?02y2?y?3?0, 由?2,得
?x?1?2y所以y1??1,y2?所以x1??1,
所以曲线C1,C2的交点坐标为??1,?1?. 【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题. 23.如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD?AB,AE?AB?BC?2AD?2,四边形EDCF为矩形,CF?3. 3(舍), 2
(1)求证:平面ECF?平面ABCD;
(2)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在,长5 【解析】 【分析】
(1)先证CF?面ABCD,又因为CF?面BCF,所以平面ECF?平面ABCD.
15,若存在,求出线段BP10uuuruuur(2)根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设DP??DF,则可得出
uuurr向量BP????1,2??2,3?,求出平面ABE的法向量为n??x,y,z?,利用直线与平面所成角的正弦公
??uuurruuurrBP?n3rr列方程求出??0或??,从而求出线段BP的长. 式sin??cosBP,n?uuu4BP?n【详解】
解:(1)证明:因为四边形EDCF为矩形, ∴DE?CF?3.
黑龙江省哈尔滨市2021届新高考数学三模试卷含解析
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