对角线排序法和正方形排序法 定义
aibi aib2 aib3 / / / / aib4 …
abababab… 2i 22 23 / / /
24 a / /
3bi
a3b2
a3b3
a3b4 … a4bi a4b2
a4b3
a4b4 …
令 Ci= aibi, C2= aib2+ a2bi, C3= aib3+ a2b2+ a3bi, ..............
Cn=
a?
ai b n+a2b n-1+…+anbi
i j n 1
我们称
cn = =(aib n+a2b n-i + … +anbi）为级数 an与n i
n i
n i
Cauchy 乘
积。
aibi
aib2 aib3 aib4 ? ? ? a2bi a2b2 a2b3 a2b4 ? ? ?
a3bi
a3b2 a3b3 a3b4 ? ? ?
a4bi
a4b2
a4b3 a4b4
? ? ?
令 di= aibi, d2= aib2+ a2b2+ a2bi
dn= aib n+ a2bn+…+ anbn+ anbn-i+…+ anbi
bn的n i
则级数 dn称为级数
n 1
an与
n 1
bn按正方形排列所得的乘积
n 1
定理 如果级数 乘积级数 证明：因为
n
an与
n 1
bn均收敛，则按正方形排序所得的
n 1
dn总是收敛的，且
n 1
dk=( ak)(
k 1
k 1
bk)
k 1
n
Sn= dk =
k 1
(a〔bk+ a2bk + …+ akbk +a2bk-1+…+akb〔)
k 1 n
n
=(ak)(
k 1
bk)
k 1
= SS
｛
a b nn
其中瘁｝与｛s：｝分别为
n 1
an与 bn的部分和，
n 1
当记 lim s；=sa,lim s： = sb时，有 lim dn = sa sb
n
n
n
所以级数
dn收敛，且
n 1
dn =( an)( bn).
n 1
n 1
n 1
但是两个收敛级数的 Cauchy乘积却不一定是收敛的
例如
n 1
an
()n1 与
1
bn
n 1
(1)n1 n2
n2
这两个级数显然都是收敛， 但它们的Cauchy乘积的一般项为 Cn = (- 1)
n+1
j
显然 ij - =—- .
2 2
i
从而
2
i j n 1
n 1
所以lim cn
n
0,故 Cn发散.
n 1
定理 如果级数
n 1
an与 bn都绝对收敛，则它们的Cauchy乘
n 1
积 Cn和正方形排列所得的乘积
n 1
n 1
d都是绝对收敛的，且
n
C
n
=( n )( n)
a
b
n 1 n 1
n
n 1
证明：设Sn= |ck |
k 1 n
= |a1bk +a2bk-1+…+akb11
k 1
n
n
(a i)( ibj)
k 1
k 1
(k )( k )
|a
|
|b
|
k 1 k 1
由正项级数 |Ck |的部分和数列有界知
k 1
|Ck |收敛，又因为
k 1
绝对收敛级数有交换律和结合律。
同理可证，
n 1
dn绝对收敛
所以 Cn= dn =( an )( 0 ).
n 1
n 1
n 1
n 1
我们可以将上定理的条件适当放宽
定理(Mertens )设级数
n 1
an绝对收敛，级数
n 1
bn收敛，记
an =A,
n 1
bn =B
n 1
则它们的Cauchy乘积
cn也收敛，且
cn =AB
n 1
n 1
n
n
证明：记 An= ak, Bn= bk
k 1
k 1
cn=(a1b n +a2b n-1+…+an b1)
n
前 n 项部分和 Sn= (a〔bk +a2bk-1+…+akb”k 1
=a〔B n +a2Bn-1+…+anB1
当令 n=B- Bn 时,(n=1,2,…) Sn= a1 Bn +a2Bn-1+…+anB〔 =a1(B- n)+a2(B- n 1) +…+an(B- =A nB - (a1 n +a2 n1+…+an 1) =A nB - Rn
下面我们估计
Rn = a1 n+a2 n1+…+an 1
因为序列｛ k｝趋于o,可设
| k| M, k N 取k充分大使
| k|<
2D
)
1
这里 D> I an |.
n 1
再取m充分大，使
|ak |<——, k m 1 2M
于是当N充分大时，对上面取定的
m有
1 R
n\\
(| a1|1
n |+
…+| am|1
n m 1 |) +(| am+1|1
+ |a n|| 1I)
所以 limRn=O n 从而 lim Sn lim A. B AB .证毕 定理（Abel定理）设级数 an与 bn都收敛，且 n 1 n 1 bn =B, Cn是它们的Cauchy乘积，如果 5收敛，n 1 n 1 n 1 c，则必有cB 证明：在数列极限理论中，我们已经证明 如lim n An=A, lim Bn=B, lim cn =c,则 n n lim Al B n A2B n 1 AnB 1 n n AB n 当记Sn C时，有 lim sn c n 7 n 所以 c=lim k 1 1 Sn n n k 1 = lim U A1Bn +A2Bn-1+…+A nB1] n n n an =A, n 1 其和为 =AB. 习题 1、设级数 an与 bi均绝对收敛，则它们的任意排序方法 n 1 n 1 （除了对角线方法与正方形方法） 得到的乘积级数 对收敛，且 hn =( an)( bj n 1 n 1 n 1 2、设 | x|<1 , |y|<1,求证：(xn-1+ xn-2y++y n-1)= n 1 (1 3、求证: xn y2= (x y)n n o n! n 0 n! no n! 1 ( 1)n 4、求证: — ---- =1 n 0 n! n 0 n! 5、求证：(qn)( qn)= (n 1)qn 1 n 0 n 0 n 0 (1 q)2 (|q| 1). hn也绝x)(1 y)
条件收敛与绝对收敛 - 图文
