/
V
n
v
n
n 1
n 1
从而，级数
|an i= (un
vn)也收敛，即
an绝对收敛，且
n 1
n 1
n 1
Qi=
(un
/
V
n
n 1
n 1
V/ \\ / n
)=
u
n
n 1
n 1
U
n
V
n 1
n
=
(U
n
V
n
)
n 1
n 1
=a
n
n 1
F面我们讨论条件收敛级数的重排 定理(Riemann )设 an是条件收敛级数 (1)对任意给定的一个E R，必存在 an的一个重排使得 an = E ;
n 1
(2)存在
an的重排级数
an使
n 1
n 1
a
/ n
n 1
证明：记
「a 丨 an
n=
V_|an| an ,
n=
2
2 n=1,2，…
显然 Un,
Vn都是正项级数，且有
n 1
n 1
lim Un =lim Vnn
n
=0
a
/ n
易证得 un 和 vn 均发散(请读者自行证明)
n 1 n 1
现考察序列
ai, a2,…,an,…,
(*)
用 pm 表示数列 (*)中第 m 个非负项，用 Qm 表示其中的第 m 个负项的绝对值。显然｛pm｝是｛Un｝的子列，｛Qm｝是｛Vn｝的子列，
(｛Pm｝为｛Un｝中删去了一些等于零的项后剩下的数列)，因此
lim pm=lim Qm=0
nn
pn
n 1 n 1
Qn
我们依次考察Pl,p2,…中的各项，设Pmi为其中第一个满足以 下条件的项
P1+P2+…+ Pg
再依次考察Qi,Q2…中的各项，设Qn是其中第一个满足以下 条件
1
的项。
pi+p2+…+ Pm — Qi - Q2 -…—Qn< E
i
i
再依次考察 Pg i+ Pg 2+…中的各项，设Pm是其中第一个满
2
足以下条件的项。
Pi+P2+…+ Pm — Qi - Q2 -…
i
Q
ri + pmi i+ pmi 2 +^ +
Pm > 三
2
照此下去，我们得到 an 的一个重排
n i
an/ 如下
n i
pi+p2+…+ pm — Qi - Q2 —…— Qn
i
i
+ p
m1 1 +
Q
Pmi 2 + Pm
2
Q
n1 1
n2 + pm2 1 +
再分别用Rk与Lx表示级数 为 Qnk 的部分和，则有
an的末项为pm的部分和与末项
k
n1
丨 Rk E
-k
1
p
mk,
k=2,3，…
否则与 pm 的选取有矛盾。 同理有
I 5 -三 | Qn ,
k
k
=1,2,3，…
因为
klim pmk =lkim Qnk =0
kk
lim Q=lim L<= E
因为级数 an的任一部分和s必介于某一对 5与Rk之间，所
n1
以也应有
lim sn/ =E
n
即
an/ =E
n1
（2）首先，任意选取一个严格单调上升并趋于 + 的实数，
列｛E k｝（例如，可选E k =k,k=1,2,…）.其次，用pk表示序列 何｝中的第k个非负项，用 Qk表示序列 佝｝的第k个负项， 设Pm是p1,p2, ??中第一个满足以下条件的项
P1+P2+???+Pm1> 1
E
设Qn是Q1,Q2，…中第一个满足以下条件的项
1
p什P2 + ^ + Pm - Qi - Q2 -…-Qni< E 1
i
再依次考察Pmi+Pm2+…中的各项，设Pm是其中第一个满足 以下
1
1
2
条件的项
pi +…+ Pm
1
1
- Q
1 ---------------- m Pm l+???Pm2>
Q
+
1
2
E
2
再依次考察Qn 1，Qn 2…中各项，设Qn是其中第一个满足以 下条件的项， P1+…+ Pm ― 依次做下去， 满足条件
Q1 -???- 我们得到
Q
n1
+ P
m1 1
+
Pm
2
Q
n| 1
/
Q
n2
> 2
E
an 的一个重排
n 1
an , 这个重排级数
n 1
/ an 1 n
.
同样可以得到一个重排，
使得
an
n1
.
下面我们考察两个级数的乘积。 设 an 与 bn 是两个级数 ,将( an )(
n 1
n 1
n 1
bn )定义为下列所有项
n 1
的和
ab
11 21
ab
12
ab
ab
13
ab
ab
14
ab
22 23
a2b4
a3b1 a3b2 a3b3 a3b4
a4b1 a4b2 a4b3 a4b4
由于级数运算一般不满足交换律与结合律。所以这无穷多项 如何
排序是我们需要考虑的一个问题。事实上，上述无穷多 项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式
条件收敛与绝对收敛 - 图文
