第四节条件收敛与绝对收敛
对于任意项级数
n 1
an ,我们已经给出了其收敛的一些判
别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 绝对收敛
定义 对于级数 an，如果级数 I an |是收敛的，
n 1
n 1
一条件收敛 与
我们称级数
an绝对收敛。
n 1
如果|an |发散，但
n 1
an是收敛的，我们称级数
n 1
n 1
an条件收
敛。
(1)n 1.
条件收敛的级数是存在的，如 n 1 n
收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然
证明：设级数 an收敛，即|an I收敛，由Cauchy收敛准则， n 1
n 1
对 0,存在N，当n>N时，对一切自然数 p,成立
着丨 n 1 丨
a
1 a
n 2 1
1 a
n p 1
于是：
1 a
n 1
a
n 2
a
np
丨丨
a
n 1
丨丨
a
n2
丨 丨
a
n p
丨
再由Cauchy收敛准则知
an收敛。
n 1
由级数 (1)可看出反之不成立。
n 1
n
|an |发散，不能推出级数
n 1
注：如果正项级数
n 1
an发散。
|an |
n 1
但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出 发散，则级数 an必发散，这是因为利用
n 1
Cauchy判别法或
| an |为发散时，是
D'lembert判别法来判定一个正项级数
n 1
根据这个级数的一般项| an|当n 时不趋于0，因此对级
an发散。
数 an而言，它的一般项也不趋于零，所以级数
n 1
例 讨论级数
(1)n1^ 的敛散性，如收敛指明是条件
1
n 1
n 1 s'np
收敛或绝对收敛。
解，当
p 0
时，由于W需总,所以级数发散.
0
当p 2时，因为
n 2 1
n 1 np lim ------- : ---- 1 n
1/ .np
而 收敛，所以原级数绝对收敛。 n 1 叮 np
1
当o p 2时，
@
n 2 n 3 Un_ Un+1= ------------------------- (= 丿
(n 1)V np (n 2)J(n 1)p
p
p
=
_(n2 4n 4)( n 1)三(n2 4n 3)n刁
7 卫
(n 1)(n 2)n2(n 1)?
p
p
>(n2 4n 4) n2 (n2 4n 3)n2 > -
p
1)2(n 1)(n 2)n °(n
p p
(n 1)( n 2) n2(n
1)?
故｛Un｝单调减少，且
lim
n
n 1 np
n 2 1
0
由Leibniz判别法知
n 2 1
『航命收敛，显然
发散，所以当0 n 1 n 1 , np
2时级数条件收敛。
前面已经指出，一个收敛级数（不论是绝对收敛或条件 收敛），将其项任意加括号后，得到的新级数仍收敛，这个 性质称为收敛级数满足结合律。下面我们讨论收敛级数的交 换律。
设 an是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新
n 1
级数记为 an ,我们有下列定理：
n 1
定理设级数
n 1
an绝对收敛，则重排的级数
n 1
an也是绝对
收敛的，且其和不变。 证明：先设
m
an是正项收敛的级数，此时有
n 1
an
n 1
n 1
an=M,对m=1,2，…,均成立
an收敛，
n 1
即正项级数 an的部分和数列有界，从而
n 1
a
n
a
n
n 1 n 1
而正项级数
an也可看成是
n 1
an的重排，从而也有
n 1 /
a
n
n 1
a
n
n 1
所以 an = an.
n 1
n 1
对一般项级数 an，设|an |收敛
n 1
n 1
记 Un J%1 *, Vn= 2nl t 2 2
显然有 0 Un |anl, 0 Vn |a. |, n 1,2,,
n = 1,2,…,
由比较判别法知正项级数 Un与 Vn均收敛。因而重排后的
n 1
n 1
级数 Un与 Vn也收敛，且有
n 1
n 1 / n 1
n 1
Un= Un
n 1 n 1
条件收敛与绝对收敛 - 图文
