双曲几何引论课程详细信息
课程号 英文名称 先修课程 00102916 学分 3 Introduction to Hyperbolic Geometry 拓扑学，抽象代数，微分流形 本课程讲授双曲几何和 Klein 群的基本理论，以及双曲流形的有关知识。课程计划从双曲空间的定义出发，比较完整地介绍关于有限体积三维双曲流形的相关结果，特别包括双曲 Dehn 手术定理、Mostow 刚性定理和 Margulis 引理。上述内容大体覆盖 W. P. Thurston 预印讲义中前八章。中文简介 与这部分内容密切相关地，课程也简要介绍几何化猜想的内容和动机 ，特别是陈述流形几何分解的结果，但不讨论其证明。 选修本课程应具备抽象代数、拓扑学和微分流形的背景知识，水平相当于数学系本科相应课程。 This course is an introduction to hyperbolic geometry, Kleinian groups, and hyperbolic manifolds. Beginning with the definition of hyperbolic spaces, the course is planned to cover the fundamental theory about finite volume hyperbolic 3-manifolds, in particular, the Hyperbolic Dehn Surgery Theorem, Mostow Rigidity Theorem, and the Margulis Lemma. The content roughly equals the first eight 英文简介 chapters of Thurston's notes \Three-Manifolds\planned to contain a brief introduction to Thurston's Geometrization. Preliminaries of this course include abstract algebra, topology, and differential manifolds, of the undergraduate level for mathematics major. 开课院系 通选课领域 是否属于艺术与美育 平台课性质 平台课类型 授课语言 数学科学学院 否 中文 The Geometry and Topology of Three-Manifolds,W. P. Thurston,无,教材 无,Foundations of Hyperbolic Manifolds,J. Ratcliffe,Springer,2006,The geometries of 3-manifolds,P. Scott,无,无, 参考书 教学大纲 本课程讲授双曲几何和 Klein 群的基本理论，以及双曲流形的有关知识。课程计划从双曲空间的定义出发，比较完整地介绍关于有限体积三维双曲
流形的相关结果，特别包括双曲 Dehn 手术定理、Mostow 刚性定理和 Margulis 引理。上述内容大体覆盖 W. P. Thurston 预印讲义中前八章。与这部分内容密切相关地，课程也简要介绍几何化猜想的内容和动机 ，特别是陈述流形几何分解的结果，但不讨论其证明。 课程预期学生掌握双曲几何及其保距变换的主要性质，熟悉流形和离散群的语言，理解形变和刚性的意义，知道有限体积三维双曲流形的基本结构。选修本课程应具备抽象代数、拓扑学和微分流形的背景知识，水平相当于数学系本科相应课程。 本课程一学期共计54学时，以平均每周3学时计，全18周。考虑到学校课程有时按照2学时为一讲，分单双周安排，下列提纲共分9单元，每单元计划讲授两周，即三讲6学时。 引论（共3讲） 课程概述 双曲几何空间的三种模型，双曲三角公式的推导举例 保距变换群的刻画，低维保距变换的分式线性变换表示，分类 双曲流形和 Klein 群（共3讲） 二维流形的几何化，Fuchs 群 离散群和不连续群作用 双曲流形构造举例，三维双曲化的动机和综述 8字结的补空间（上）：完备双曲结构（共3讲） 8字结补空间上完备双曲结构的构造 理想双曲四面体的几何 完备结构的唯一性 8字结的补空间（下）：双曲 Dehn 手术（共3讲） 完备化释题，一般链环上的手术 广义的 Dehn 手术不变量 8字结的Dehn 手术：双曲的和例外的情形 Jorgensen—Thurston 定理（共3讲） Margulis 引理，双曲流形的厚—薄分解 Jorgensen—Thurston 定理 有限体积三维双曲流形的结构 形变（共3讲） 形变的概念和刻画语言 二维双曲流形的Teichmuller 空间 三维双曲流形的形变维数 Gromov 范数和体积（共3讲） Gromov 范数，与双曲体积的关系 测度同调论 双曲流形的 Gromov 范数公式 Mostow 刚性定理（共3讲） 刚性的概念
Mostow 刚性定理 其它形式的刚性 Thurston—Perelman 几何化（共3讲） 三维流形的拓扑简介 Seifert 纤维化空间，其它七种几何 三维流形的几何化分解 教师讲授，随堂答疑，布置和批改作业。学生听课，完成隔周布置的作业。 平时作业占60%，期末闭卷考试占40% 教学评估 刘毅：
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