f(x)的减区间为：（-2，2）?当x??2时，f(x)有极大值，极大值为f(?2)?22; 当x?2时，f(x)有极小值，极小值为f(2)?8.11269
（2）由（1）可知f(x)在[?,1]上单调递减，故f(x)max?f(?)?;3327f(x)min?f(1)??5.
18. 解：（Ⅰ）由题设可知 （Ⅱ）方法一：设
，所以抛物线方程为
，则
又 所以直线
，相减整理得 的方程是
，即
的斜率存在，
，
.
方法二：由题设可知直线 设直线
的方程为
，
由 ，消去 ，得 ，
易知 又 所以直线
所以 的方程是
， ，
，
，即 .
19.【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2). 当1
当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 单调递增区间为(1,2),
单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).
(2)由f(x)=-x3+x2-2x, 得f′(x)=-x2+ax-2,
原问题转化为:对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1). 而f′(x)=-+
-2,其图象开口向下,对称轴为x=.
①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3, 由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1
=
上单调减增,在
上单调递减,
-2,由-2<2(a-1),得0 a的取值范围为(-1,8). (2)法二：原问题即:对于任意x∈[1,+∞)都有?x2?ax?2?2(a?1). 即a(x?2)?x2 在x∈[1,+∞)上恒成立. ⅰ)x=2时，显然成立； x24?(x?2)??4 ⅱ）x∈[1,2)时，原问题可化为a?x?2x?2记g(x)?(x?2)?而y?t?4?4令x?2?t则(?1?t?0) x?24?4在[?1,0)上单调递减，?t??1时，ymax?-1故a??1 tx24?(x?2)??4 ⅲ）x∈（2，+∞)时，原问题可化为a?x?2x?2g(x)?(x?2)?44?4?4?2(x?2)??8当且仅当x=4时，“=”成立 x?2x?2此时a?8. 综上所述，a的取值范围是(-1,8).
湖南省邵阳二中2024学年高二数学上学期期中试题 文
