1. 假设题目所给的数据真实可靠;
2. 假设实际影响每峰瓦的实际发电效率或发电量的因素,如环境、建筑物所处
的地理纬度、地区的气候等,均不会影响其发电效率或发电量. 3. 假设空气中的尘埃、水汽等等不会对太阳辐射强度产生影响 4. 假设同一时刻阳光照射在房屋同一面的太阳高度角相等 5. 假设铺设的电池的厚度不会对其他电池采光产生影响 6. 假设地球绕太阳公转轨道是正圆形. 7. 假设逆变器不安装在小屋外表面
8. 假设周围环境对光伏电池发电量不产生影响
5模型的建立与求解
5.1 问题一的求解
5.1.1选定光伏电池组件的几种排列方式
（1）对每种光伏电池的性价比K进行纵向比较
为了更直观的体现每种光伏电池的优异性,并直观选择铺设各墙面的光伏电池种类,引入性价比这一概念.由于每个光伏电池在工作的过程,单位面积内组件功率越大且转换率越高,可获得收益越大,同时不同光伏电池价格不同.为更好更直观的反应各种光伏电池的性价比,我们设定一种性价比K计算方法：
其中?为常数系数.通过计算我们可以得到这24种光伏电池的性价比,详细数据见附表三,为了取得最大效益,我们选出性价比最大的前三种光伏电池,依次是：
B2,B1,A3.用这三种光伏电池对各个平面进行铺设,同时对小部分的空余面积用面
积较小的薄膜电池C进行插空.
（2）采用整数背包模型,确定各平面采用每种光伏电池的最大范围.
为了使小屋的全年太阳能光伏发电量达到最大,采用整数背包模型.设有一只背包,最多可容纳的总面积分别为S1,S2,S3,S4.现有n种可供选择的光伏电池装入背包中,这n种光伏电池的编号分别为1,2,…,24.各光伏电池的价格、发电量分别为w1,w2,…,w24和p1,p2,…,p24,每种光伏电池装入个数为数,
j?Nijxjxj?0为整
（
）,每种光伏电池均不能拆开.我们的目的是如何在每个平面上选择装入
S3的光伏电池（各几件）,可使太阳能的光伏发电量达到最大.（其中S1、S2、
S4,w1,w2,…,w24和p1,p2,…,p24均为正数）
、
建立以下数学模型：
maxz??pjxj,使得
j?124?wxjj?124j?Sk,
1,2,3,4?且xj,Sk , wj , pj均为正数 其中j?Nij,xj?0,k??采用动态规划算法对整数背包模型进行求解：
a.划分阶段K：将供选择的光伏电池按1,2,…,n排序,每个阶段可装入一种光伏电池;
b.确定决策变量：xk表示装入第k种物品的件数;sk表示背包中允许装入前k种光伏电池的总面积．
c.建立状态转移方程：sk?sk?1?wkxk;决策集合为：
???sk???D(sk)??xk0?xk???,x,k为整数?,
???wk????s?s其中?k?表示不超过k的最大整数．
wk?wk?d.建立递归方程：
fk?sk???s?xk?0,1,2,...,?k??wk?max?max?fk?1(sk),fk(sk?wkxk)?pkxk??．
e.递推求解：逐步计算出f1(s1),f2(s2),...,fn(sn),最后求得fn(w)即为所求的最大价值．
根据上述描述的算法求解过程,利用Matlab进行编程（见附表一）,程序运行后得到S1平面三种光伏电池的放置个数,同理可得S2、S3、S4平面三种光伏电池的安置数,结果如下：
表一： 平面 总利用面积/mm2 总发电量/kw?h A3,B1,B2分别电池数的最大值 13,12,12 4,4,3 5,5,4 顶面S1 南面S2 东面S3 6.88405 2.06611 2.61618 西面S4 3.03356 6,5,5 （3）对上述每个平面三种光伏电池数进行优化,得到确定的光伏电池数量及平面位置
通过对大同气象数据进行处理,我们得到了S1平面每平米光辐射量总量Q1, 用si,i?1,2,3分别表示B2,B1,A3的面积;?i表示光伏电池转化率,vi表示每种光伏电池所带来的年收益;Vi 表示使用年限内的总收益; wi光伏电池的花费; Mi单位面积上第i种光伏电池的利润. 根据上述公式,求解结果如下：
表二：
S1面 S2面 S3面 S4面 每年收入 228.8356 190.9162 171.954 每年收入 164.7682 137.4651 123.8118 每年收入 92.90433 77.50953 69.81111 每年收入 138.3032 115.3855 103.9252 35年总收入 7208.322059 6013.860326 5416.550268 35年总收入 5190.196819 4330.150412 3900.070188 35年总收入 2926.486405 2441.550244 2199.050013 利润 3208.322 2701.36 2436.55 利润 1190.197 1017.65 920.0702 利润 -1073.51 -870.95 -780.95 35年总收入 利润 4356.549751 356.5498 3634.643609 322.1436 3273.642677 293.6427 利润/面积 1655.143 1652.057 1908.565 利润/面积 614.0112 622.3591 720.6967 利润/面积 -553.815 -532.642 -611.723 利润/面积 183.9406 197.0117 230.0121 由表格可知,S3面的单位面积利润为负,因此不铺设S3.下面我们仅对
S1,S2,S4进行光伏电池的铺设.以S1为例,由于A3B2B1是按利润与面积比按从大
到小排列的,所以我们在保证12个A3全部被铺后,其次铺B2,最后铺B1,从而得到光伏电池A3B2B1在各个平面上的分布个数,并且在结合C类光伏电池的性价比跟面积,在南面S2铺设了光伏电池C10,下表表示S1,S2,S4的理论铺设个数：
表三： S1 S2 S4 A3 B1 B2 13 12 7 4 2 0 6 5 2 结合实际情况,结合光伏电池串、并联的电压跟逆变器的选择,实际的铺设个数跟上表所示理论铺设个数有出入,下表表示S1,S2,S4的实际铺设个数：
表四： A3 B1 B2 C10 S1 12 S2 4 S4 6 具体铺设图如下： 12 2 5 图一：顶面S1 图二：南面S2 图三：西面S4
7 0 2 0 21 0 5.1.2选配相应的逆变器的容量和数量,同时画出相应的电路连线图
由于逆变器的花费费用与逆变器的输入电压呈正相关,按照逆变器的选配要求,根据前一步我们算出的光伏电池B2,B1,A3在各个平面上的分布个数,对光伏电池进行串、并联分组阵列铺设,铺设方案如下图：
图四（顶面S1） 图五(南面S2)
图六（西面S3）
5.1.3计算小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益及投资的回收年限
经计算得,太阳能小屋的发电量为17047.54kw?h;经济效益为76854.11元;回报年限为20.58年. 5.2 问题二的求解
5.2.1确定屋顶与水平面的夹角?的表达式
以小屋所在点做地球的切平面xOy,以O点为垂点做xOy面的法向量Oz并以Oz所在直线做Z轴建立空间直角坐标系Oxyz,且Oy正方向为正南方向负方向为正北方向,Ox正方向为正东方向负方向为正西方向,下图为空间直角坐标系图：
z L M O K N y x
图七 空间直角坐标系图
由O点向任意方向引一射线OM作为太阳射线,为方便计算设其模为1. 分析可得：
（１）需先将OM分解为XOY平面内一向量ON与Y轴上一向量OL的合成向量.下图为空间直角坐标系：
z O M y 图八 空间直角坐标系
（2）将向量OM在xOy平面内分解为Oy轴上的向量OK与Ox轴上的向量
OJ
将上图中O点移到小屋顶面任一点,画出此时的侧视图（由西向东看且令小屋顶面与水平面夹角为?）,则此时可视面为yOz平面,下图为平面直角坐标系图：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题获奖论文
