常微分方程在数学建模中的应用

微分方程应用

1 引言

常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.

数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.

因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介

通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．

建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介

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微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.

纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具. 3．2 常微分方程模型示例

数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．

建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．

例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？

解： 第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用y(t)表示总数，第一句话告诉我们

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dy?ky dt它的通解为

y?Aekt

A和k这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即

y(0)?100, (3.1) 和 y(24)?400, (3.2) 其中t的单位为小时．(3.1)意味着

y(0)?Ae0?A?100. (3.2)意味着

y(24)?100e24k?400. 它给出

k?故

y(t)?100etln424. 要我们求的是

y(12)?100e(12)ln424(ln4). 24?200个细菌．

例2 将室内一支读数为60?的温度计放到室外．10min后，温度计的读数为

70?；又过了10min，读数为76?.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿

的冷却定律计算出正确的答案．

牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T的物体放进处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．

解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。所以，用了两段话来作为我们求解的出发点．

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第三段关键词“以某一速度变化”．这句话是说dTdt与T?m是成正比例的，即dTdt?k(T?m)．给出的三个特定条件是：

T(0)?60,T(10)?70,T(20)?76．

其中t的单位是分钟，而的单位是度。微分方程的解为T?Aekt?m解出三个常数A,k,m解出m?85?．

例3 红绿灯问题

在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则.这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？

现在，让我们来分析一下这个问题．在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口．如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能停得住车．也就是说，在街道上存在着一条无形的线，从这条线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大．当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口．大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地发挥这一街道的作用）．对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下足够的时间使它们能顺利地通过路口． 根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：

步1. 根据该街道的法定速度v0求出停车线位置（即停车线到街口的距离） 步2. 根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久 （停车线的确定）

要确定停车线位置应当考虑到两点：

(1)驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间t1，在这段时间里，驾驶员尚未刹车．

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(2)驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离． 驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）t1较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）．例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应时间的长短并不影响到计算方法）． 停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下．设汽车质量为m,刹车摩擦系数为f，x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）．由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程

?d2xm2??fmg??dt ? (3.3)

dx?x(0)?0,?v0?dtt?0?在方程(3.3)两边同除以m并积分一次，并注意到当t?0时

dx?v0，得到 dtdx??fg?tv0 (3.4) dtdx?0，故 刹车时间t2可这样求得，当t?t2时，dtt2?v0 fg将(3.4)再积分一次，得 x(t)??将t2?1fgt2?v0t 2v0代入，即可求得停车距离为 fg21v0 x(t2)?2fg据此可知，停车线到路口的距离应为：

21v0 L?v0t1?

2fg等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离．

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