综合练习一参考答案
一、单项选择题
1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 6、C 7、D 二、填空题
（1）{(x,y)|x2?y2?1} （2）b?a?2 （3）1 （4）3 （5） 1 （6）、y?2ex 三、计算题
1、求定积分
?1x?10x2?1dx 解 ?1x?11110x?1dx??x111?20x2?1dx?0x2?1dx?2ln(1?x2)|10?arctanx|0?2ln2?4 ?e22、求定积分dx1x1?lnxdx 解 ?e2dx1x1?lnxdx??e2d(1?lnx)dx11?lnxdx?21?lnx|e21?23?2 3、设z?yx?ln(xy)(x?0,y?0),求dz。
解 因为 ?z?x?yxlny?1?z111x,?y?xyx?1?y,所以dz?(yxlny?x)dx?(xyx?1?y)dy 4、设z?f(x2?y2),f是可微函数，求y?z?x?x?z?y。 解 因为 ?z?f?(x2?y2)?2x,?z?f?(x2?x?y?y2)?2y 所以 y?z?x?x?z?y?f?(x2?y2)?2xy?f?(x2?y2)?2yx?0 5、设z?f(x,y)是由方程z2?xyz?1所确定的隐函数，求?z?z?x,?y。
解 设F(x,y,z)?z2?xyz?1,于是Fx???yz,Fy???xz,Fz??2z?xy
故 ?zFy??x??Fx?yz?zxzFz??2z?xy,?y??F?,
z?2z?xyx6、计算
??eydxdy，其中D是由x?y2,x?0,y?1所围成的闭区域。 D 解 D:0?y?1,0?x?y2 xx
??eydxdy?1[y2xeydx]dy?1[yey|y21yyy10000]dy?0[ye?y]dy?(ye?e?2y2)|110?D????2 四、解答题 ?1、判定级数
?(?1)n?1n3?1n?13n的敛散性。 3n?3解 因为 lim|un?1|(nn??|u?lim?1)?1?3?1?，所以级数(?1)n?1n?1 绝对收敛 n|n??3n?1n3?131?n?13n可编辑文档
2、求曲线y?x2与直线y?2x所围成的图形面积，并求此图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解 曲线与直线的交点为 (2,4) 面积 s??20(2x?x2)dx?(x2?13243x)|0?3 旋转体体积V243152640x2?x4)dx??(3x?5x)|?x???(40?15
3、将ln(4?x)展开成x的级数，并指出收敛域。
n解 ln(4?x)?ln[4(1?xx?(?1)n?1?x?4)]?ln4?ln(1?4)?ln4??n?1n??4??
??即 ln(4?x)?ln4?(?1)n?1n?1n4nxn 由?1?x4?1得?4?x?4，故收敛域为 (?4,4] 4、求微分方程xy??y?xex的通解。
解 方程化为 y??1xxy?e，这是一个一阶线性微分方程，由公式得
y?e??1xdx1(?exe?xdxdx?C)?e?lnx(?exelnxdx?C)?11x(?xexdx?C)?x(xex?ex?C) 5、求微分方程y???4y??12y?0在初始条件y|x?0?0,y?|x?0?3下的特解。 解 由特征方程r2?4r?12?0，解得 r1?6,r2??2，所以方程的通解为 y?C6x?2x1e?C2e 由初始条件y|x?0?0,y?|x?0?3，得
? ??C1?C2?0?36?6C1?2C2?3，解得
?C1?38C ，故所求特解为 y?ex?3e?2x ??2??3888五、 设工厂生产A和B两种产品，主量分别为x和y(单位：千件)。利润函数为
L(x,y)?6x?x2?16y?4y2?2(单位：万元) 已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000公斤， 现有该原料12000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？
解：这是一个在约束条件x?y?6下，求L(x,y)?6x?x2?16y?4y2?2的极大值的一个条件极值。 作拉格朗日函数，F(x,y)?6x?x2?16y?4y2?2??(x?y?6)，由
??Fx??6?2x???0?F??16?8y???0 ，解得?x?195。 ?y? 驻点唯一，实际问题有最优解， ?x?y?6?y?115所以两种产品各生产195 和115件时，利润最大。 六、 设f(x)连续，且
?x0uf(2x?u)du?ex,f(1)?1，试证：?2e?11f(x)dx?2。 证明 ：令 t?2x?u 则du??dt，得
?xx0uf(2x?u)du??(t?2x)f(t)dt??xtf(t)dt?2xx2x2x?2xf(t)dt?ex，两边对x求导得
xf(x)?4xf(2x)?2?x2xf(t)dt?2xf(x)?4xf(2x)?ex，由此得
.
?2xxf(t)dt?12(ex?xf(x)) 令x?1得
?21f(t)dt?12(e?1)，即
?21f(x)dx?12(e?1)
综合练习二参考答案
一、单项选择题
1、A 2、C 3、B 4、D 5、A 6、B 7、B 二、填空题
（1）{(x,y)|1?x2?y2?4}（2）c?b（3）0（4）发散（5）?1?dy?20arcsinyf(x,y)dx
（6）、y??sinx?C1x?C2 三、计算题
? 1、计算
?20esinxcosxdx
??? 解 ?2esinxcosxdx??2sinx00ed(sinx)?esinx|02?e?1
2、
?e?10ln(1?x)dx 解
?e?10ln(1?x)dx??e?10ln(1?x)d(1?x)?(1?x)ln(1?x)|e?110??e?0dx?1
3、设z?arctan(xy)，求dz
解
?zy?zxy?x?1?(xy)2,?y?1?(xy)2,?dz?1?(xy)2dx?x1?(xy)2dy
4、设z?f(3x?2y),f是可微函数，求2?z?x?3?z?y 解 ?z?x?f?(3x?2y)?3,?z?y?f?(3x?2y)?2 2?z?x?3?z?y?2f?(x2?y2)?3?3f?(3x?2y)?2?0 5、设z?f(x,y)是由方程e?xy?2z?ez?0确定的隐函数，求?z?z?x,?y
解 设F(x,y,z)?e?xy?2z?ez,F?xy?xyzx???ye,Fy???xe,Fz??2?e
故 F?xy ?zx?ye?zFy?xe?xy?x??F?z,?y??F?,
z?2?ez?2?ez6、计算??x22dxdy，其中D由x?2,y?x,xy?1所围成的闭区域。
Dy 解 D?{(x,y)|1x?y?x,1?x?2}，于是
??x22xx22?x2]x2392dxdy??dx?12dy??[1dx?Dy1xy1yx?1(x?x)dx?4
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四、解答题
sinn??1、判别级数?(?1)n3n?1n2?2的敛散性。 sinn?sinn?解 |unn|?|(?1)3311?1n2?2|?|n2?2|?n2?2?n2，而正项级数?收敛， n?1n2n?n?sin?故 ?(?1)n3?sin收敛 ，因此原级数(?1)n3 绝对收敛。 n?1n2?2?n?1n2?22、求由曲线y?x2?4和直线y?0抽围成的图形的面积，并求此图形y轴旋转所得旋转体的体积。
解 面积 s??2?2(4?x2)dx?(4x?132323x)|?2?3 旋转体体积 V0y????4(y?4)dy???0(y?4)d(y?4)?2?4?2(y?4)|0?4?8?
?xn3、求幂级数?的收敛域以及和函数。
n?1n解 lima?n?1n??|a|?limnnn??n?1?1，所以收敛半径为R?1，当x?1时，，级数?1发散，当x??1时，
n?1n?级数
?(?1)n1n?1n收敛，因此收敛域为[?1,1)。 ?? 设s(x)??xn ，则s?(x)?(xn?n?11n?1n?)??n?2n?x?，所以s(x)??ln(1?x)
n?11?x4、求微分方程xy??2y?x3ex?0的通解。
解 方程化为 y??22xxy?xe，这是一个一阶线性微分方程，由公式得
2y?e?xdx(?x2exe??2xdxdx?C)?e2lnx(?x2exe?2lnxdx?C)?x2(?exdx?C)?x2(ex?C)
5、求微分方程2y???26y??3y?0,在初始条件y|x?0?0,y?|x?0?1下的特解。 解 由特征方程2r2?26r?3?0，解得 r1?r2??62，所以方程的通解为 y?(C1?C2x)e?62x 由初始条件y|x?0?0,y?|?C1?0x?0?1，得?， ?C2?1因此特解为 y?xe?62x
五、应用题
1、某工厂生产一种产品同时在两个市场销售，销售量分别为x和y，售价分别为p和q，需求函数分别为
x?24?0.2p和y?10?0.05q，总成本函数为C(x,y)?35?40(x?y)。问厂家如何确定两个市场的
售价，使其获得的总利润最大。
.
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解：由x?24?0.2p和y?10?0.05q得 p?120?5x,q?200?20y
收益函数为R(x,y)?(120?5x)x?(200?20y)y
利润函数为 L(x,y)?(120?5x)x?(200?20y)y?35?40(x?y) ?80x?5x2?160y?20y2?35
由??L?x?80?10x?0??L? 解得 唯一驻点
?x?8y?160?40y?0?y?4 实际问题有最优解，所以两个市场的销售量分别为8 件和4件时，利润最大。这时的价格分别 为80和120。
2、用钢板做一个容量为32立方米的长方体形无盖水箱，问长、宽、高各为多少时，所用的材料最省？ 解法1：设水箱的长、宽、高分别为 x,y,h，表面积为 S，则有xyh?32,S?xy?2(xh?yh)
由xyh?32得h?3211xy，故S?xy?64(x?y)，问题为求S的最小值
???S?y?642?0令 ???xx得唯一驻点???S?x?4 ???y?x?64?y?4此时h?2，又实际问题的最值存在，
y2?0故水箱的长、宽、高分别为4m , 4m , 2m时，所用的材料最省。
解法2： 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，则目标函数为
s?xy?2xz?2yz (x,y,z?0) 约束条件为 xyz?32 作拉格朗日函数 L(x,y,z)?xy?2xz?2yz??(xyz?32)
可得方程组
???Lx?y?2z??yz?0??L?y?x?2z??xz?0?L?z?2x?2y??xy?0 ??xyz?32将上述方程组中的第一个方程乘x，第二个方程乘y，第三个方程乘z，再两两相减，得
??x?y?y?2z 代入第四个方程得唯一驻点 x?y?4,z?2，由问题本身可知最大值一定存在，因此，当容器的长，宽
均为4米，高为2米时用料最省。 六、证明题 证明： ?10x{f[g(x)]?f[g(1?x)]}dx??10f[g(1?x)]dx
证：
?10x{f[g(x)]?f[g(1?x)]}dx??1xf[g(x)]dx??100xf[g(1?x)]dx
在
?10xf[g(x)]dx 中令 x?1?t 得
?1110xf[g(x)]dx??0(1?t)f[g(1?t)]dt??f[g(1?t)]dt??100tf[g(1?t)]dt
.
??110f[g(1?x)]dx??0xf[g(1?x)]dx
所以
?10x{f[g(x)]?f[g(1?x)]}dx??10f[g(1?x)]dx
综合练习三参考答案
一、单项选择题
1、D 2、C 3、C 4、B 5、A 6、C 7、B 8、D 二、填空题 （1）
12 （2）0 （3）(?1,1) （4）2 （5） ?1x?4x10 （6）、y?C1e?C2e 三、解答题 ?1、求定积分
?20x2sinxdx
????解：
?2xdx???2x2d(cosx)??x20xsin0cosx|02?2?20xcosxdx ??? ?2?20xdsinx?2xsinx|02?2?20sinxdx ????2cosx|02???2 2、求定积分?21?11?2?xdx 解：令x?t2?2,dx?2tdt,x?2,t?2;x??1,t?1,
?21?11?x?2dx??2111?t2tdt?2?21(1?11?t)dt
?2(t?ln(1?t))2331?2(1?ln2)?2?2ln2 ?3、判定级数?sinn?(?为常数) 的敛散性，并指出是否是绝对收敛 n?1n3n?1 |sinn?|1v1解： 因为 |un?1n3n?n|?n3n?1?n3n?1?vn 又因为 limn??v?lim?1?nn??(n?1)3n31 ??故级数
?vsinn?n收敛 ， 所以
n?n3n?1| 收敛 ， 因此原级数绝对收敛。 1?|n?14、将函数f(x)?x3?x展开为x的幂级数，并求出其收敛域。 解：因为
1?1?x??xn,x?(?1,1) n?0 所以
1111???(x)n??????xnx3?x31?x3n?1,3?(?1,1) n?03n?033
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因此 f(x)?x?3?x??xn?1x?(?3,3) n?03n?15、求微分方程求微分方程y??2x?1y?(x?1)2 的通解。
解：这是一个一阶线性微分方程，p(x)??2x?1,q(x)?(x?1)2,
22由通解公式得：y?e?x?1dx(?(x?1)2e??x?1dxdx?c)
?e2ln(x?1)(?(x?1)2e?2ln(x?1)dx?C) ?(x?1)2(x?C) 6、求隐函数ez?x2yz?sinx?0的偏导数?z?z?x,?y。 解：设 f(x,y,z)?ez?x2yz?sinx ， fx???2xyz?cosx,fy???x2z,fz??ez?x2y, 所以 ?z?x??fx?f?2xyz?cosx?zfy?x2zy;?y??f?z. z??x2z?e?x2y7、设z?f(xy,y2sinx)，其中f具有连续偏导数，求全微分dz。
解：由于?z?yf2?z?x1??ycosxf2? ?y?xf1??2ysinxf2? 所以 dz?(yf21??ycosxf2?)dx+(xf1??2ysinxf2?)dy。
8、求二重积分??xydxdy，其中D是由直线y?x和圆 (x?1)2?y2?1所围成且在直线y?x上方的平面
D区域。
解：直线与圆的交点为 (0,0),(1,1),D?{(x,y)|x?y?1?(x?1)2,0?x?1}
??ydxdy??11?(x?1)20[xxydy]dx
D??112?0x[1?(x?1)2?x2]dx?12(23x3?12x4)110?12 四、应用题 1、设D由曲线y?x2与直线y?x?2和y轴所围成的落在第一象限的平面区域。求： （1）区域D的面积； （2）由区域D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。 解：曲线与直线的交点为 (2,4) (1) 区域D的面积为 S??20(2?x?x2)dx?(2x?12132102x?3x)|0?3 (2) 旋转体的体积 V???224131521840[(2?x)?x]dx??[3(x?2)?5x]|0?15? 2、某农场欲围一个面积为54平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场
地长、宽各多少米时，所用的材料费用最少？最小费用是多少？ 解：设场地长为 x米，宽为 y米，则总造价为 .
f(x,y)?10x?5(2y?x) 约束条件为 xy?54
作拉格朗日函数 L(x,y)?15x?10y??(xy?54) 求L(x,y)的偏导数，并令其为零得
??L??15??y?0?L?y?10??x?0 ??xy?54 解得 x?6,y?9，???53 由于驻点唯一，所以场地的长为6米、宽为9米时，所用的材料费用最少。最小费用为
f(6,9)?15?6?10?9?180（元）
五、证明题 设?(x)为连续函数，f(x)??13x2y?(y)dy，证明： ?10xf(x)dx?116?0?(x)dx。 证法1： ?11111120xf(x)dx?2?0f(x)d(x2)?2x2f(x)|10?2?0xf?(x)dx ?12?10x2?x2?2x?(x6)dxt?x6116?0?(t)dt?16?10?(x)dx 证法2： ?10xf(x)dx??10dx?11yx2xy?(y3)dy??0dy?0xy?(y3)dx =12?12110y?(y3)dyt?y316?0?(t)dt?16?0?(x)dx
综合练习四参考答案
一、单项选择题
1、A 2、C 3、B 4、B 5、D 6、C 7、A 8、B 二、填空题
1、2 2、2dx?dy 3、?elnx1dx?0f(x,y)dy 4、e?x 5、1?p?2 6、y?(C1?C2x)ex
三、计算下列各题：
1、求定积分?5x2(2x?x2?1)dx 解：?5x2(2x?x2?1)dx??522xdx??5x2x2?1dx ?x2|515d(x2?1)2?2?2x2?1?3?x2?1|52 ?4 2、求定积分?30arctanxdx。
2解： ?30arctanxdx??30arctantdt2?t2arctant|33t0??01?t2dt ???(t?arctant)|340?3??3
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?x2e3、判定级数?(?1)解：这是一个一阶线性方程 P(x)?,q(x)?
n?1xx22???dxdxun?1n?11e?x?2nxx(?edx?C) 解：lim， ?lim?， 所以正顶级数?收敛，由通解公式得：y?en?1?n敛散性。若收敛，指出是否绝对收敛 n32n??unn??3n3n?13n? 因此 级数?(?1)n?1n绝对收敛 n?13n ?、求幂函数?xn4的收敛区间和和函数s(x) n?1n解：因为 lim|an?1n?nn??a|?lim?1，所以幂函数?x的收敛区间为 nn??n?1(?1,1) n?1n?设s(x)??xn?，s?(x)?(?xn?)???(xn?)??n?11(x?(?1,1)) n?1nn?1nn?1n?x?n?11?x积分得 s(x)?s(0)??x101?xdx??ln(1?x) 由于s(0)?0 故 s(x)??ln(1?x)
5、设二元函数z?x3ey?lnxy，求全微分dz。 解：?z?x?3x2ey?1xy ?z?y?x3ey?lnxy2 dz?(3x2ey?13ylnxxy)dx?(xe?y2)dy 6、设二元函数z?z(x,y)由方程F(x?y?z,x2?y2?z2)?0确定，其中F有连续偏导数，求?z?z?x,?y。
解：令 G(x,y,z)?F(x?y?z,x2?y2?z2)，u?x?y?z,v?x2?y2?z2 G?x?Fu??2xFv?,G?y?Fu??2yFv?,G?z?Fu??2zFv?,
所以 ?zG?F??2xF??zG?F??2yFv??x??xG???u,?y??yG???u zFu??2zF?zFu??2zF?7、求二重积分??xdxdy，其中D是由直线y?x和圆 x2?(y?1)2?1所围成且在直线y?x下方的平面D区域。
解：直线与圆的交点为 (0,0),(1,1),D?{(x,y)|y?x?1?(y?1)2,0?y?1}
??xdxdy??1[?1?(y?1)2D0yxdx]dy
?11221223112?0[1?(y?1)?y]dy?2(y?3y)0?6
y??2ye?x28、求微分方程x?x的通解。 x ?1e?x2x2(?x?x2dx?C)?11x2e?x22(??C) 四、应用题： 1、某工厂生产甲、乙两种产品，当产量分别为x (千件)和y (千件)时，销售收入为
R(x,y)?15?12x?32y?8xy?2x2?10y2 (万元) 如果工厂每月只能生产2千件产品，问两种产品各生产多少件时，这个月的销售收入最大？(8分)
解： 因为 x?y?2
作拉格朗日函数：L(x,y)?15?12x?32y?8xy?2x2?10y2??(x?y?2) ?L?x?12?8y?4x???0 由??L?y?32?8x?20y???0 得 x?0.5,y?1.5,??2 ??x?y?2由于驻点唯一，所以甲产品为0.5（千件）、乙产品为1.5（千件），可使销售收入最大。 2、设区域D是由曲线y?ex与直线ex?y?2e和y轴所围成，求： (1) 区域D的面积； (2) 区域D绕x轴旋转一 周所成的旋转体的体积。 解：曲线y?ex与直线ex?y?2e的交点为 (1,e)
(1) 区域D的面积为 S??10(2e?ex?ex)dx?(2ex?12ex2?ex)|1e0?2?1 (2) 旋转体的体积 V???10[(2e?ex)2?e2x]dx ??[1312x1112?3e(ex?2e)?2e]|0?6?e?2 五、证明题（6分） 设函数f(x)有连续的导数，且f(0)?0，证明：?1dx?xf?(x?y)f(1?y)dy??1000f2(x)dx
证：
?1x10dx?0f?(x?y)f(1?y)dy??10[?yf?(x?y)f(1?y)dx]dy
??110[f(1?y)f(x?y)|1y]dy??0[f(1?y)]2dy
t?1?y?1210f(t)dt??0f2(x)dx 。
.
高数B2综合练习答案
