第十一章 反 常 积 分
教学目的：
1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义； 2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛 散性的判别。
教学时数：8学时
§ 1 反常积分概念（2学时）
教学目的：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 一 问题的提出:例（P264）. 二 两类反常积分的定义 定义1. 设函数定义在无穷区间
上，且在任何有限
区间
上可积，如果存在极限
（1）
则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称
无穷积分），记作 ,并称收敛.
如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称
发散.
定义2. 设函数定义在闭区间 极
上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内
上有界且可积，如果存在
则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作
并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积
分
发散.
例1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 .
⑵ 计算积分.
例 2 讨论以下积分的敛散性 :
⑴; ⑵.
例3 讨论积分的敛散性 .
例4 判断积分的敛散性 .
例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 .
三 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有
, 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有
，把无穷积分化成了瑕积分.
可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .
§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）
教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 一 无穷积分的性质 ⑴
在区间 上可积 , 且
⑵
和
在区间
上可积 , .
⑶ 无穷积分收敛的Cauchy准则:
在区间
上可
上可积 , — Const , 则函数
在区间
.
积 , 且
Th 积分收敛 .
⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛
收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .
二 比较判别法
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有
↗. 非负函数无穷
积分敛散性记法.
⑴比较判敛法: 设在区间 ，又对任何
>,
和
上函数在区间
和上可
非负且
积 . 则 < , < ； , .
例6 判断积分 的敛散性.
推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间
,
. 则
上函数
ⅰ> < < , 与 共敛散 :
ⅱ> , < 时, < ；
ⅲ> , 时, . ( 证 )
推论2 （Cauchy判敛法）: (以为比较对象, 即取
,
.以下> 0 )设对任何>, <
；若
且
,
, .
且
Cauchy判敛法的极限形式 : 设值函数. 且
. 则
是在任何有限区间 可积的正
ⅰ> < ；
ⅱ> . ( 证 )
例7 讨论以下无穷积分的敛散性 :
ⅰ> ⅱ>
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:
1.Abel判敛法: 若积分
收敛.
在区间
上可积 ,
单调有界 , 则
2.Dirichlet判敛法: 设
上单调，且当
时，
在区间
.则积分
上有界 ，在
收敛.
数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分
