第20讲 共点、共线与共圆问题
本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法．所谓共点，指n条(n≥3)直线经过同一点．或n个(n≥3)圆经过同一点; 共线，指的三个及以上的点在同一条直线上; 共圆，指不在一条直线上的三点确定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上．证明中常用到Menelaus定理、Ceva定理、Fermat点、Simson线、Euler线、四点共圆等知识．
A类例题 例1 设线段AB的中点为C，以AC为对角线作平行四边形AECD、BFCG，又作平行四边形CFHD、
D CGKE，求证：H、C、K三点共线．
分析 C为AB中点，若C为HK的中点，
G H
则AKBH为平行四边形．反之，若平行四边形成立，
A
B 则H、C、K共线． C 证明 连AK、DG、BH． K F
∵ AD∥EC∥KG，AD＝EC＝KG，
E
∴ 四边形AKGD是平行四边形． ∴ AK∥GD，AK＝GD．
同理，BH∥GD，BH＝GD，∴ BH∥AK，BH＝AK，
∴ 四边形AKBH是平行四边形．故AB、HK互相平分，即HK经过AB的中点C． ∴ H、C、K三点共线．
说明 证明具有特殊的性质的几个点共线． 链接 点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零；还可以利用Menelaues定理及其逆定理证明三点共线等．n(n≥4)点共线可转化为三点共线．
例2 求证：过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线，交于一点．
分析 画出图形，是必要的，可以研究一下两条垂线的交点的性质，不难发现证明的方法． 证明 若ABCD是特殊图形(矩形、等腰梯形)，易知结论成立．
如图，设圆内接四边形ABCD的对边互不平行．E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，EE'⊥CD，FF'⊥DA，GG'⊥AB，HH'⊥BC，垂足分别为E'，F'，G'，H'．
设EE'与GG'交于点P．∵ E为AB中点，∴ OE⊥AB，∴OE∥
CEE'．
GE'同理，OG∥EE'．∴ OEPG为平行四边形．
DH'∴ OP、EG互相平分．即OP经过EG中点M．
QFF'同理，设FF'与HH'交于Q，则OQ经过FH中点N． PMOH∵ E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴ EFGH是平行四边形，∴EG、FH互相平分，即EG的中点就ABEG'是FH的中点于是M与N重合．
∴ OP、OQ都经过点M且OP＝OQ＝2OM． ∴ P、Q重合，即四条垂线交于一点．
说明 本题利用了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点．
- 1 -
链接 证明线共点还可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点、Ceva定理及逆定理等)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明．
例3 ⊙O1与⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上一点， 割线PCD交⊙O1于C、D，割线PEF交⊙O2于E、F， 求证：C、D、E、F四点共圆．
分析 可以通过C、D、E、F连成的四边形的对角互补或 四边形的外角等于内对角来证明．
证明 链接CE、D F，PC·PD=PA·PB=PE·PF．
D于是，ΔPCE∽ΔPFD， ∴ ∠PEC=∠PDF． ∴ C、D、E、F共圆． PCEAO1BO2F 链接 证明共圆常用的方法有：证明几个点与某个定点距离相等；如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；证明凸四边形对角互补(或外角等于内对角)．(特别的，如果几个点对同一条线段张角为直角，则这几个点在以这条线段为直径的圆上．)证明这四点可以满足圆幂定理． 情景再现 1．⊙I内切于⊿ABC，D为BC上的切点，M、N分别为AD、BC的中点，求证：M、I、N三点共线． 2. 证明三角形的三条高所在直线交于一点；三条中线交于一点；三条角平分线交于一点．
3. 设PQ、QR是⊙O的内接正九边形的相邻两边．A为PQ中点，B为垂直于QR的半径的中点． 求∠BAO． B类例题 例4 设等腰三角形ABC的两腰AB、AC分别与⊙O切于点D、E，从点B作此圆的切线，
其切点为F，设BC中点为M，求证：E、F、M三点共线．
分析 显然此圆和三角形的位置需要分情况讨论，要证明E、F、M三点共线，
可以证明连线成角为0?或180?，于是有下面的证明． 证明 ∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴ 直线AO是∠BAC的平分线．故AO所在直线通过点M． ∴ ∠OMB＝90?，又∠ODB＝90?，∴D、O、M、B四点共圆． ∴ ∠DFM＝∠DOM．且∠ABM＋∠DOM＝180?． AA1
∵ ∠DFE＝2∠DOE＝∠ABM．
∴ ∠DFE＋∠DFM＝180?． ∴ E、F、M共线．
如果切点F在三角形外，则由D、B、F、M、O共圆，
- 2 -
DOEDFBMCEOCBFM得∠DFM＝∠DBM．
1
而∠DBM＝∠AOD＝∠DOE＝∠DFE．∴ ∠DFM＝∠DFE．
2
∴ F、M、E共线．
说明 证明三点共线常证明连线成角为0?或180?．
例5 以锐角△ABC的BC边上的高AH为直径作圆，分别交AB、AC于M、N，
过A作直线lA⊥MN，用同样的方法作出直线lB，lC， 求证：lA、lB、lC交于一点．
分析 如果能证明这三条直线都经过三角形的外心，则此三线共点． MB证明 取△ABC的外接圆O，连HN，DB． 则∠CAD与∠MNH都是∠ANM的余角， ∴ ∠MNH＝∠CAD，
∵ ∠MNH＝∠MAH，∠CAD＝∠CBD，∴ ∠CBD＝∠MAH， ∵ ∠BAH＋∠ABH＝90?，∴ ∠CBD＋∠CBA＝90?．
∴ lA是⊙O的直径．即AB过⊙O的圆心O．同理lB、lC都过点O． 即lA、lB、lC交于一点． 链接 利用某些特殊点证明三线共点是常用的方法，三角形的五心是经常用到的．对于三角形的五心的性质，同学们可以参见第十七讲的内容． 例6 在ΔABC的边AB、BC、CA上分别取点D、E、F，使DE=BE，EF=EC． 证明：ΔADF的外接圆圆心在∠DEF的平分线上．
A 分析 设O为ΔADF的外接圆圆心，于是OA=OD=OF．
若EO是∠DEF的平分线，则出现了等线段对等角的情况， O F
D 这在圆中有此性质．故应证明O、D、E、F共圆．
证明 ∵ EC=EF，∴ ∠2=180?－2∠C，
1 2 同理，∠1=180?－2∠B， B C E
∴ ∠DEF=180?－∠1－∠2=2(∠B+∠C)－180?
=2(180?－∠A)－180?=180?－2∠A．
但O为ΔADF的外接圆圆心，∴∠DOF=2∠A，∴∠DEF+∠DOF=180?，
∴ O、D、E、F四点共圆．但OD=OF，∴∠DEO=∠OEF，即O在∠DEF的角平分线上． 情景再现
·O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB4. 菱形ABCD中，∠A=120°，○
延长线于F．求证：D，E，F三点共线．
5．设P、Q、R分别为△ABC的外接圆O上弧BC、CA、AB的中点． PR、PQ分别交AB、AC于点D、E，求证：DE∥BC． R A A M Q D F E O E O B D B C
C P
6．以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，△ABC的高为AH，
- 3 -
ANOHCD求证：AH、BF、CD三线交于一点．
7. 如图，两个正三角形ΔEFG与ΔE'F'G'都内接于正方形ABCD，求证：EE'GG'是平行四边形．
E
A D
M E G'
E' G
G A D
C类例题 例7 设AD、BE、CF为△ABC的三条高，从点D引AB、BE、CF、AC的垂线DP、DQ、DR、DS，垂足分别为P、Q、R、S，求证：P、Q、R、S四点共线．
分析 这里有多个四点共圆，又有多个垂线．四点共圆，可以看成圆的内接三角形与圆上一点．故适用于Simson线．
A证明 设H为垂心．
F由∠HDB＝∠HFB＝90?，∴ H、D、B、F四点共圆． PEQ∵ DP⊥BF，DQ⊥BH，DR⊥HF，P、Q、R分别为垂足．
RS∴ P、Q、R共线，(△HBF的Simson线)． BCD同理，Q、R、S共线(△CEH的Simson线)． ∴ P、Q、R、S共线．
说明 利用几何名定理（Simson 线等）证明三点共线是常用方法． 链接 (Simson 线)设P是△ABC的外接圆上(异于A、B、C)一点，PX⊥BC，PY⊥CA，PZ⊥AB，垂足分别为X、Y、Z，则X、Y、Z共线． BPYAZF
B H C B F F'
C
XC
例8 设A1、B1、C1是直线l1上三点，A2、B2、C2是直线l2上三点．A1B2与A2B1交于L， A1C2与A2C1交于M，B1C2与B2C1交于N，求证：L、M、N三点共线．
分析 图中有许多三点共线，可以利用这些三点共线来证明L、M、N三点共线． 所以可以选定一个三角形，这个三角形的三边上分别有L、M、N三点． 设A1C2与A2B1、B2C1交于P、Q，A2B1与B2C1交于R． PMQNRL
则只要证明MQ·NR·LP=1，则由Menelaues定理的逆定理可证明L、M、N三点共线．
PMQC1RA2
证明 A2C1截△PQR得，MQ·C1R·A2P=1，
- 4 -
C2B2A2l2C1PMQB1A1l1NLRQNRB1PC2
B1C2截△PQR得，NR·BP·CQ=1，
1
2
RLPA1QB2
A1B2截△PQR得，··=1，
LPA1QB2RPB1RC1QA1
l1截△PQR得，BR·C1Q·A1P=1， 1RB2QC2PA2l2截△PQR得，··=1．
B2QC2PA2R
PMQNRL
五式相乘，即得MQ·NR·LP=1，从而L、M、N三点共线． 说明 本题利用了Menelaues定理及其逆定理证明三点共线． 链接 证明三点共线和三线共点常用以下两个定理： (Menelaues定理) X、Y、Z是△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的三点，则X、Y、Z三点共线的充AZBXCY要条件是ZB·XC·YA=1． (Ceva定理)X、Y、Z是△ABC的三边BC、CA、ABAZBXCY上三点，，则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是··ZBXCYA=1． 同学们可参见本书第十八、十九讲的内容． BXzPCAzYBCXAY
例9 四边形内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的外接圆圆心分别为O1、O2、O3、O4，求证：OP、O1O3、O2O4共点．(1990年全国联赛)
证明 ∵O为⊿ABC的外心，∴ OA=OB．
E∵ O1为⊿PAB的外心，∴O1A=O1B．
1D∴ OO1⊥AB．
作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E， O32C并与AB交于点F，连DE，则?1=?2=?3，?EPD=?BPF， O4P∴ ?PFB=?EDP=90?． O2O∴ PO3⊥AB，即OO1∥PO3．
同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形． O13A∴ O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点． FB同理，O2O4过PO中点．
∴ OP、O1O3、O2O4三直线共点．
例10 ΔABC是等腰三角形，AB=AC，若M是BC的中点，O是直线AM上的点， 使OB⊥AB；Q是BC上不同于B、C的任一点；E在直线AB上，F在直线AC上， 使E、Q、F不同且共线． 求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF．
分析 证明“当且仅当”时，既要由已知OQ⊥EF证明QE=QF，也要由QE=QF证明OQ⊥EF．
证明 连OE、OF、OC 先证OQ⊥EF?QE=QF．
- 5 -
《高中竞赛教程》教案：第20讲 共点共线共圆问题(教师)
