常见分段函数问题求解策略
【方法综述】
分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就常见分段函数问题解决方法举例说明．
【题型展示】
1．求分段函数的函数值
?x2?1(x?0)例1. 已知函数f(x)??，则f[f(1)]=
??2x(x?0)解：因为f?1???2,所以f[f(1)]?f??2????2??1?5.
2解题策略 求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．
2．求解分段函数的解析式
例2.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式．
解： (1)由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解：析式y＝kx，又因过点(100,40)，2
得解析式为y＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，
5
2
所以应交话费y＝×50＝20(元)．
5
(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.
?40＝100k＋b，?则有?
??60＝200k＋b，
1??k＝，
解：得?5
??b＝20，
1
所以解：析式为y＝x＋20，
5
2??5x，0＜x≤100，
故所求函数关系式为y＝?1
??5x＋20，x＞100.
解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题
的关键是正确地理解：题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分
界点．
3.求分段函数的定义域、值域、画出分段函数的图象
例3.已知函数f(x)?|2x?1|.
（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数； （Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域（不要求证明).
yxO 1?2x?1,x????2 ；
【答案】（Ⅰ）f(x)??（Ⅱ）图象见解：析，定义域：R，值域：
1??2x?1,x????2[0,??).
1?2x?1,x????2
【解析】（Ⅰ）f(x)????2x?1,x??1??2（Ⅱ）图象如下图：
观察得到定义域为R，值域为[0,??).
解题策略
（1）分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．
（2）分段函数的定义域是各段函数解：析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
【针对训练】
1．已知函数
则
的值为（ ）
A． B． C． D． 1
【答案】A 【解析】 由题得f(-1)=故答案为：A
2. 已知符号函数sgn
.
= ,是R上的增函数，
，则（ ）
A． sgnC． sgn【答案】B 【解析】 当当当所以故选B.
时，时，时，
sgn B． sgnsgn
D． sgn
- sgn
- sgn
，由单调性：，此时：，由单调性：
.
，此时， ，此时
，
，
3.已知函数f(n)(n?N?)满足f(n)???n?3,n?100?f[f(n?5)],n?100，则f(1)?（ ）
A．97 B．98 C．99
D．100
【答案】B
【解析】∵f(100)?97,f(99)?f[f(104)]?f(101)?98,
f(98)?f[f(103)]?f(100)?97,f(97)?f[f(102)]?f(99)?98,f(96)?f[f(101)]?f(98)?97,依此类推，得f(99)?f(97)?????f(1)?98，∴选B.
ln?x?1?,x?04．已知函数f?x??{1，若m?n，且f?m??f?n?，则n?m的取值
2x?1,x?0范围是（ ）
A. ?3?2ln2,2? B. ?3?2ln2,2? C. ?e?1,2? D. ?e?1,2? 【答案】A 【解析】
作出函数f(x)的图象如图， 若m 则当ln(x+1)=1时，得x+1=e，即x=e?1，则满足0 则ln(n+1)= 12 m+1,即m=2ln(n+1)?2，则n?m=n+2?2ln(n+1)， 设h(n)=n+2?2ln(n+1)，0 当h′(x)<0得0 即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2?2ln2=3?2ln2， 当n=0时,h(0)=2?2ln1=2， 当n=e?1时,h(e?1)=e?1+2?2ln(e?1+1)=1+e?2=e?1<2，则3?2ln2?h(n)<2， 即n?m的取值范围是[3?2ln2,2)，本题选择A选项. 5.已知函数 的图象如下图所示，则 的解：________________． 析式是 【答案】 【解析】依据函数的图象，将函数的解：析式写为分段函数的形式为： . 6.已知函数【答案】5 ，若 ，则实数的值为__________． 【解析】由题可得：故答案为5. ??x－2，x＞10， 7.已知f(x)＝? ?f?f?x＋6??，x＜10，? 求f(5)的值． 【答案】11 【解析】∵5＜10，∴f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11))， ∵11＞10，∴f(f(11))＝f(9)， 又∵9＜10，∴f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.即f(5)＝11. ??2x，x≥0 8. 已知函数f(x)＝?2 ?x，x＜0? ，作出此函数的图象． 【答案】见解析. 【解析】由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示． 9．画出分段函数的值． 【答案】， ， 的图象，并求 ， ，
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