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《特殊角的三角函数值》教案

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28.1锐角三角函数

第3课时 特殊角的三角函数

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义;(重点)

2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算;(重点) 3.能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题.(难点)

一、情境导入

问题1:一个直角三角形中,一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的? 问题2:两块三角尺中有几个不同的锐角?各是多少度?设每个三角尺较短的边长为1,分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

二、合作探究

探究点一:特殊角的三角函数值

【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 计算:

(1)2cos60°·sin30°-6sin45°·sin60°; sin30°-sin45°(2). cos60°+cos45°解析:将特殊角的三角函数值代入求解.

112313

解:(1)原式=2××-6××=-=-1;

2222221-2

(2)原式=

1+2

22

=22-3. 22

方法总结: 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围

2

若cosα=,则锐角α的大致范围是( )

3A.0°<α<30° B.30°<α<45° C.45°<α<60° D.0°<α<30° 解析:∵cos30°=321122

,cos45°=,cos60°=,且<<,∴cos60°<cosα<222232

cos45°,∴锐角α的范围是45°<α<60°.故选C.

方法总结:解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性. 【类型三】 根据三角函数值求角度 若3tan(α+10°)=1,则锐角α的度数是( ) A.20° B.30° C.40° D.50°

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解析:∵3tan(α+10°)=1,∴tan(α+10°)=33

.∵tan30°=,∴α+10°=30°,33

∴α=20°.故选A.

方法总结:熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二:特殊角的三角函数值的应用

【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,

AD=4,求BC的长.

解析:由题意可知△BCD为等腰直角三角形,则BD=BC,在Rt△ABC中,利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可.

解:∵∠B=90°,∠BDC=45°,∴△BCD为等腰直角三角形,∴BD=BC.在Rt△ABCBCBC3中,tan∠A=tan30°=,即=,解得BC=2(3+1).

ABBC+43

方法总结:在直角三角形中求线段的长,如果有特殊角,可考虑利用三角函数的定义列

出式子,求出三角函数值,进而求出答案.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 判断三角形的形状

已知△ABC中的∠A与∠B满足(1-tanA)2+|sinB-3

|=0,试判断△ABC的形状. 2

解析:根据非负性的性质求出tanA及sinB的值,再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数,进而可得出结论.

解:∵(1-tanA)2+|sinB-

33

|=0,∴tanA=1,sinB=,∴∠A=45°,∠B=60°,22

∠C=180°-45°-60°=75°,∴△ABC是锐角三角形.

方法总结:一个数的绝对值和偶次方都是非负数,当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 构造三角函数模型解决问题 要求tan30°的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算.作Rt△ABC,使∠C

AC1

=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=3,∠ABC=30°,∴tan30°===BC33

.在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,探究tan15°与tan75°的值. 3

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CD

解析:根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长,进而得出tan15°=,

BCBC

tan75°=求出即可.

CD

解:作∠B的平分线交AC于点D,作DE⊥AB,垂足为E.∵BD平分∠ABC,CD⊥BC,DE⊥AB,∴CD=DE.设CD=x,则AD=1-x,AE=2-BE=2-BC=2-3.在Rt△ADE23-3

中,DE2+AE2=AD2,x2+(2-3)2=(1-x)2,解得x=23-3,∴tan15°==2-3,

3BC3

tan75°===2+3. CD23-3

方法总结:解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形,再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计

1.特殊角的三角函数值: sinα cosα tanα 30° 1 23 23 345° 2 22 21 60° 3 21 23 2.应用特殊角的三角函数值解决问题.

课程设计中引入非常直接,由三角尺引入,直击课题,同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习,效果很好.在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细,可以说前面部分的

教学很成功,学生理解的很好.

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《特殊角的三角函数值》教案

28.1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义;(重点)2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算;(重点)3.能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实
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