又a＝5，∴bcosC＝－1， ①
abab
由正弦定理＝，得＝，
sinAsinBsin(120°－C)sin60°∴
531cosC＋sinC22
＝b
， 32
即3bcosC＋bsinC＝53， ② 将①代入②，得bsinC＝63，
11
故△ABC的面积为S＝absinC＝×5×63＝153．……………………（12分）
22
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则
2
由3a5＝5a8，得3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－a1．
23
n(n－1)21241144
∴Sn＝na1＋×(－a1)＝－a1n2＋a1n＝－a1(n－12)2＋a1．
22323232323∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值．…………………………………（6分） 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a1＝－46，得d＝－×(－46)＝4，
23
∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50， n(n－1)
Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n．
2Sn－an2n2－52n＋5050∴bn＝＝＝2n＋－52≥2
nnn50
当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立．
n
故bn的最小值为－32．……………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由∠ADB＝90°，可得BD⊥AD．
因为PD⊥底面ABCD， 所以PD⊥BD． 又PD∩AD＝D，
所以BD⊥平面PAD， 因为PA?平面PAD， 所以BD⊥PA．…………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD＝a，则 A（a，0，0），B（0，3a，0），C（－a，3a，0），P
（0，0，a），
→→
AB＝（－a，3a，0），BC＝（－a，0，0），
50
2n×－52＝－32，
n
6
→→AP＝（－a，0，a），PC＝（－a，3a，－a）． 设平面PAB的法向量为n＝（x，y，z）， →??AB＝0，?n·?－ax＋3ay＝0，所以?可得?
→－ax＋az＝0。???AP＝0。?n·
设y＝3，则x＝z＝3，
可得n＝（3，3，3）．
同理，可求得平面PBC的一个法向量为m＝（0，－1，－3）． m·n27所以cos＜m，n＞＝＝－．
7|m|·|n|由图形知，二面角A-PB-C为钝角，
27
因此二面角A-PB-C的余弦值是－．…………………………………（12分）
7
20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）①处填20，②处填0.35；
补全频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175．…………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年
龄不低于30岁”的有15人．
由题意知，X的可能取值为0，1，2，且
1C2C115C22115215C155
P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2＝，P(X＝2)＝2＝＝．
C2038C2038C203819
∴X的分布列为： X P 0 21 381 15 382 1 19211521
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．………………………………………（12分）
3838382
21．（本小题满分13分）
7
解：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．
→
当|PM|＝0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹C上． →→→→→→当|PM|≠0且|MF2|≠0时，由PM·MF2＝0，得PM⊥MF2． →→
又|PQ|＝|PF2|（如图），所以M为线段F2Q的中点． 1→→
在△QF1F2中，|OM|＝|F1Q|＝a，所以有x2＋y2＝a2．
2
综上所述，点M的轨迹C的方程是x2＋y2＝a2．…………………………（4分） （Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?y＝kx＋m，由?消去y并整理，得
222?x＋y＝a．
(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－a2＝0，
则△＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－a2)＝4(k2a2＋a2－m2)＞0， －2kmm2－a2
且x1＋x2＝，x1x2＝．
1＋k21＋k2
∴y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．
∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列， y1y2k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m22∴·＝＝k， x1x2 x1x2－2k2m2即＋m2＝0，又m≠0， 2
1＋k∴k2＝1，即k＝±1．
设点O到直线l的距离为d，则d＝
， k2＋1|m|11
∴S△OAB＝|AB|d＝1＋k2|x1－x2 |·2
22k＋1
11
＝|x1－x2 ||m|＝m2(2a2－m2)． 22
由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2a2且m2≠a2， ∴0＜
m2(2a2－m2)＜
m2＋(2a2－m2)2
＝a．
2
|m|
1
故△OAB面积的取值范围为（0，a2）．…………………………………（10分）
2（Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，
B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范
1
围为（0，ab）．”……………………………………………………………（13分）
2
22．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（－1，＋∞）．
8
求导数，得f ′(x)＝
1
－a． 1＋x
－a＝1，∴a＝1． 11＋(－)
2
1
1
由已知，得f ′(－)＝1，即
2
－x1
此时f(x)＝ln(1＋x)－x，f ′(x)＝－1＝，
1＋x1＋x
当－1＜x＜0时，f ′(x)＞0；当x＞0时，f ′(x)＜0．
∴当x＝0时，f(x)取得极大值，该极大值即为最大值， ∴f(x)max＝f(0)＝0．……………………………………………………………（4分） （Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln(1＋x)－x≤0，
即ln(1＋x)≤x，当且仅当x＝0时，等号成立．
k＋11111
令x＝（k∈N*），则＞ln(1＋)，即＞ln，
kkkkk1
∴＞ln(k＋1)－lnk（k＝1，2，…，n）． k将上述n个不等式依次相加，得
111
1＋＋＋…＋＞(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[ln(n＋1)－lnn]，
23n
111
∴1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）．…………………………………（10分）
23n法（二）：用数学归纳法证明．
（1）当n＝1时，左边＝1＝lne，右边＝ln2，∴左边＞右边，不等式成立． 111
（2）假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞ln(k＋1)．
23k
11111
那么1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋1)＋，
23kk＋1k＋1由（Ⅰ），知x＞ln(1＋x)（x＞－1，且x≠0）． 令x＝
k＋2111，则＞ln(1＋)＝ln， k＋1k＋1k＋1k＋1
k＋21∴ln(k＋1)＋＞ln(k＋1)＋ln＝ln(k＋2)，
k＋1k＋11111
∴1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋2)．
23kk＋1
即当n＝k＋1时，不等式也成立．…………………………………（10分）
根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立． （Ⅲ）∵f(0)＝0，g(0)＝b，若f(x)≤g(x)恒成立，则b≥0．
由（Ⅰ），知f(x)max＝f(0)＝0．
（1）当b＝0时，g(x)＝0，此时f(x)≤g(x)恒成立； （2）当b＞0时，g′(x)＝b(ex－1)，
当x∈（－1，0）时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x∈（0，＋∞）时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． ∴g(x)在x＝0处取得极小值，即为最小值，
∴g(x)min＝g(0)＝b＞0≥f(x)，即f(x)≤g(x)恒成立．
9
综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，＋∞）．………………（14分）
10
武汉市高三四月调考理数.doc
