武汉市2012届高三四月调研测试
数 学（理）
注意事项：
1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2． 选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3． 非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上
无效
4． 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。考生应根
据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5． 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
2012.4.19
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，→则EF＝
1→1→2→1→（A）AB－AD （B）AB＋AD
23321→1→1→2→（C）AB－AD （D）AB－AD
3223
a＋i
2．“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a＜－1”的
2＋i
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为
（A）0.35 （B）0.25 （C）0.20 （D）0.15
4．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为 （A）63
1
（B）8 （C）83 （D）12
5．已知(3x2－
3
1n
)的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是 x
（A）－24 （B）24 （C）－252 （D）252
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是
（A）(42，56] （B）(56，72] （C）(72，90] （D）(42，90)
1
7．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象
x下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为 ln2（A）
21－ln2（B）
21＋ln2（C）
2
2－ln2（D）
2
8．已知直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若(Ax1
＋By1＋C)( Ax2＋By2＋C)＞0，且|Ax1＋By1＋C|＜|Ax2＋By2＋C|，则直线l （A）与直线P1P2不相交 （B）与线段P2P1的延长线相交 （C）与线段P1P2的延长线相交 （D）与线段P1P2相交
9．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A、B在此抛物线上，且∠AFB＝90°，弦AB的|MM′|中点M在其准线上的射影为M′，则的最大值为
|AB|（A）
23
（B） （C）1 （D）3 22
2
??ax＋1，x≤0，
10．已知函数f(x)＝?则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确
logx， x＞0。?2?
的是
（A）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点 （B）当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点 （C）无论a为何值，均有2个零点 （D）无论a为何值，均有4个零点
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填
在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． ．．．．．．．（一）必考题（11—14题）
11．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）． x y 2 30 4 40 5 60 6 t 8 70
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为^y＝6.5x＋17.5，则表中t的值
为 ．
π3π
12．已知α∈[，]，点A在角α的终边上，且|OA|＝4cosα，则点A的纵坐标y的取值
128范围是 ．
13．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则
棱锥S-ABC的体积为 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知三点A（a，b），B（b，c），C（c，a），且直线AB的
倾斜角与AC的倾斜角互补，则直线AB的斜率为 ．（结果中不含字母a，b，c） （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选
的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA＝2，PC＝1，则圆O的面积为 ． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
π1π
在极坐标系下，已知直线l的方程为ρcos(θ－)＝，则点M（1，）到直线l的距离
322为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝60°．
11
（Ⅰ）若cos(B＋C)＝－，求cosC的值；
14
3
→→
（Ⅱ）若a＝5，AC·CB＝5，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和． （Ⅰ）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；
（Ⅱ）若a1＝－46，记bn＝
Sn－an
，求bn的最小值． n
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB＝90°，AB＝2AD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值． 20．（本小题满分12分）
为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 分组（单位：岁） [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45] 合计 频数 5 ① 35 30 10 100 频率 0.05 0.20 ② 0.30 0.10 1.00 21．（本小题满分13分）
x2y2
如图，已知椭圆Γ：2＋2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别
ab→
是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F1Q|
4
→→→
＝2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点M在线段F2Q上，且满足PM·MF2＝0，|MF2|≠0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由） 22．（本小题满分14分）
1
已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax在x＝－处的切线的斜率为1．
2（Ⅰ）求a的值及f(x)的最大值；
111
（Ⅱ）证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N*）；
23n
（Ⅲ）设g(x)＝b(ex－x)，若f(x)≤g(x)恒成立，求实数b的取值范围．
武汉市2012届高三四月调研测试 数学（理）试题参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，满分50分．
1．D 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．A 10．A 二、填空题：每小题5分，满分25分．
－1±53－1439π
11．50 12．[1，2] 13． 14． 15． 16． 3242三、解答题：本大题共6小题，共75分．
17．（本小题满分12分） 11解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos(B＋C)＝－，得
14
sin(B＋C)＝1－cos2(B＋C)＝
11531－(－)2＝，
1414
∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C) cosB＋sin(B＋C) sinB
1115331
＝－×＋×＝．…………………………………………（6分）
1421427
→→→→
（Ⅱ）由AC·CB＝5，得|AC|·|CB|cos(180°－C)＝5，即abcosC＝－5，
5
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