分类加法计数原理与分步乘法计数原理
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握分类计数原理,分布计数原理的概念. 2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别. 3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题. 1.分类计数原理与分步计数原理
(1)分类计数原理:完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法,…,在第n类方式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+mn种不同的方法
注意:○1分类计数原理又称为加法原理; ○2弄清楚完成“一件事”的含义,即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容;
○3解决“分类”问题,用分类计数原理,即完成事件通过途径A,就不必再通过途径B,可以单独完成;
○4每个题中,标准不同,分类也不同,分类的基本要求是:每一种方法必属于某一类(不漏),任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).
(2)分步计数原理: 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
注意:○1分步计数原理又称为乘法原理; ○2弄清楚完成“一件事”的含义,即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤; ○3解决“分步”问题,用分步计数原理,需要分成若干个步骤,每个步骤都完成了,才算完成一个事件,注意各步骤间的连续性;
○4每个题中,标准不同,分步也不同,分步的基本要求:一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步;二是每个步骤之间的方法是无关的,不能相互替代.
2.分类计数原理和分步计数原理的区别
辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”,也就是说“分类”时,各类办法中的每一种方法都是独立的,都能直接完成这件事,而“分步”时,各步中的方法是相关的,缺一不可,当且仅当做完个步骤时,才能完成这件事。
类型一分类计数原理
例1:王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从口袋里任取一张英语单词卡片,有多少种不同的取法?
[解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类,第一英:从左边口袋取一张英语单词卡片,有30种不同的取法;第二类:从右边口袋取一张英语单词卡片,有20种不同的取法,上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件,应用分类计数原理,所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.
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练习1:用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有()种 A.3B.5C.9D.12
[答案] C
[解析]只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类计数原理得,共有3+5+1=9种.
练习2:把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有( ) A.4种B.5种C.6种D.7种 [答案]A
[解析]按每堆苹果的数目可分为4类,即1,4,5;2,3,5;3,3,4;2,4,4,且每类中只有一种分法.
类型二分步计数原理
例2:要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法? [解析]从3名工人中选1名上日班和1名上晚班,可以看成是经过先选1名上日班,再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上日班,共有3种选法;上日班的工人选定后,上晚班的工人有2种选法,根据分步计数原理,所求的不同的选法数是:N=3×2=6.
练习1:有四名同学同时参加了学校的100 m, 800 m, 1 500 m三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有()
A.43种B.34种C.12种D.24种 [答案] A
[解析]第一步,100 m冠军有4种可能;第二步,800 m冠军也有4种可能;第三步,1 500 m冠军有4种可能,根据分步计数原理,共有4×4×4=43种可能.
练习2:将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有()种 A.53B.35C.15D.5 [答案] B
[解析]第1封信有3种投法,第2封信也有3种投法……第5封信同样有3种投法,完成5封信投入3个邮筒这件事,按分步计数原理共有3×3×3×3×3=35种方法.
类型三分类计数原理与分步计数原理的区别
例3:设有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画,问: (1)从中取一幅画布直房间,有多少种不同的选法?
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有多少种不同的选法?
[解析](1)分三类:第一类从国画中选一幅,共5种;第二类从油画中选一幅,共有2种;第三类从水彩画中,选一幅,共有7种,由分类加法计数原理,共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)分三步:第一步从国画中选一幅共5种;第二步从油面中选一幅共有2种;第三步从水彩画中选一幅共:7种,由分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.
练习1:已知集合M?{1,?2,3},N?{?4,5,6,?7}.若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为() A.18B.16C.14D.10 [答案] C
[解析]取法可分为两类.
(1)以集合M中的元素为横坐标,N中的元素为纵坐标,从集合M中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有3×2=6个点.
(2)以集合N中的元素为横坐标,M中的元素为纵坐标,从集合N中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理
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有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.
类型四两个原理的综合应用
例4:有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同英的书,共有________种不同的取法.
[答案]242
[解析]任取两本不同类的书,有三类:一、取数学、语文各一本, 二、取语文、英语各一本,
三、取数学、英语各一本.然后求出每类取法,利用分类加法计数原理即可得解.
取两本书中,一本数学、一本语文,根据分步乘法计数原理有10×9=90种不同取法; 取两本书中,一本语文、一本英语,有9×8 = 72种不同取法; 取两本书中,一本数学、一本英语,有10×8=80种不同取法.
综合以上三类,利用分类加法计数原理,共有90+72+80=242种不同取法. 练习1:有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有()种.
A.40B.56C.124D.129 [答案] D
[解析]取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种.
1.从A地到B地每天有直达班车4班,从A地到C地,每天有5个班车,从C地到B地,每天有3个班车,则从A地到B地,每天共有()种不同乘车方法.
A.12B.60C.19D.17 [答案]C
[解析]从A地到B地共分两类方法,第一类:直达班车4班;第二类,转车从A到C再到B,共有5×3=15种乘车方法,根据分类加法计数原理,共有4+15=19种不同的乘车方法.
2.将6个苹果投入4个袋子里,不同的投法共有() A.64种B.46种 C.4种D.24种 [答案]B
[解析]每个苹果有4种不同的投法,所以共有46种不同的投法
3.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是()
A.100个 B.90个 C.81个 D.72个 [答案]C
[解析]要使得点不在x轴上,则纵坐标不能为0,故纵坐标上的数字只能有9种选择,纵坐标选好后,横坐标不能与之相同,故也有9种情况,故共可确定9×9=81个符合题意的点.
4.书架上原来并排放者5本不同的书,现在要插入3本不同的书,那么不同的插法有() A.336种 B.120种 C.24种 D.18种 [答案]A
[解析]我们可以一本一本的插入,先插第一本,可在原来的5本书形成的6个空中插入,共有6种插入的方法;然后再插第二本,这时书架上有6本书形成7个空,有7种插入方法;再插最后一本,有8种插法,所以共有6×7×8=336种不同的插法.
5.某校会议室有四个进入门,若从一个门进,另一个门出,不同的走法有________种. [答案]12
[解析]根据分步计数原理,共有4×3=12种不同的走法.
6.由三个数码组成的号码锁,每个号码可取0,1,2……9中任意一个数字,不同的开锁号码设计共有________个.
[答案]1000
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人教版高数选修2-3第一章11分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习教案(教师版)
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