分类加法计数原理与分步乘法计数原理
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念. 2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别. 3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题. 1.分类计数原理与分步计数原理
(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2 +…+mn种不同的方法
注意：○1分类计数原理又称为加法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；
○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；
○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).
(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
注意：○1分步计数原理又称为乘法原理； ○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤； ○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；
○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.
2.分类计数原理和分步计数原理的区别
辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。
类型一分类计数原理
例1：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？
[解析]从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类，第一英：从左边口袋取一张英语单词卡片，有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片，有20种不同的取法，上述任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片的事件，应用分类计数原理，所以从口袋里任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同取法.
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练习1：用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有()种 A.3B.5C.9D.12
[答案] Ｃ
[解析]只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.由分类计数原理得,共有3+5+1=9种.
练习2：把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有（ ） A.4种B.5种C.6种D.7种 [答案]A
[解析]按每堆苹果的数目可分为4类,即1,4,5;2,3,5;3,3,4;2,4,4,且每类中只有一种分法.
类型二分步计数原理
例2：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ [解析]从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理，所求的不同的选法数是：N=3×2=6.
练习1：有四名同学同时参加了学校的100 m, 800 m, 1 500 m三项跑步比赛,则获得冠军(无并列名次)的可能性有()
A.43种B.34种C.12种D.24种 [答案] Ａ
[解析]第一步,100 m冠军有4种可能;第二步,800 m冠军也有4种可能;第三步,1 500 m冠军有4种可能,根据分步计数原理,共有4×4×4=43种可能.
练习2：将5封信投入3个邮筒中,不同的投法有()种 A.53B.35C.15D.5 [答案] Ｂ
[解析]第1封信有3种投法,第2封信也有3种投法……第5封信同样有3种投法,完成5封信投入3个邮筒这件事,按分步计数原理共有3×3×3×3×3=35种方法.
类型三分类计数原理与分步计数原理的区别
例3：设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，问： (1)从中取一幅画布直房间，有多少种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？
[解析](1)分三类：第一类从国画中选一幅，共5种；第二类从油画中选一幅，共有2种；第三类从水彩画中，选一幅，共有7种，由分类加法计数原理，共有5+2+7=14种不同的选法.
(2)分三步：第一步从国画中选一幅共5种；第二步从油面中选一幅共有2种；第三步从水彩画中选一幅共：7种，由分步乘法计数原理，共有5×2×7=70种不同的选法.
练习1：已知集合M?{1,?2,3},N?{?4,5,6,?7}.若从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系的第一、第二象限不同点的个数为() A.18B.16C.14D.10 [答案] Ｃ
[解析]取法可分为两类.
(1)以集合M中的元素为横坐标,N中的元素为纵坐标,从集合M中取一个元素的方法有3种,要使点在第一、第二象限内,则从N集合中只能取5,6两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理有3×2=6个点.
(2)以集合N中的元素为横坐标,M中的元素为纵坐标,从集合N中任取一个元素的方法有4种,要使点在第一、第二象限内,则从M中只能取1,3两个元素中的一个,共有2种取法,根据分步计数原理
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有4×2=8个点,综上,利用分类计数原理,共有6+8=14个点.
类型四两个原理的综合应用
例4：有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同英的书，共有________种不同的取法.
[答案]242
[解析]任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本， 二、取语文、英语各一本，
三、取数学、英语各一本.然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解.
取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9=90种不同取法； 取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8 = 72种不同取法； 取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8=80种不同取法.
综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80=242种不同取法. 练习1：有不同的中文书9本,不同的英文书6本,不同的法文书5本,从其中取出不是同一国文字的书2本,则不同的取法有()种.
A.40B.56C.124D.129 [答案] Ｄ
[解析]取出的书为中文、英文的有9×6=54种;取出的书为中文、法文的有9×5=45种;取出的书为英文、法文的有6×5=30种.共有54+45+30=129种．
1.从A地到B地每天有直达班车4班，从A地到C地，每天有5个班车，从C地到B地，每天有3个班车，则从A地到B地，每天共有()种不同乘车方法.
A.12B.60C.19D.17 [答案]C
[解析]从A地到B地共分两类方法，第一类：直达班车4班；第二类，转车从A到C再到B，共有5×3=15种乘车方法，根据分类加法计数原理，共有4+15=19种不同的乘车方法.
2.将6个苹果投入4个袋子里，不同的投法共有() A.64种B.46种 C.4种D.24种 [答案]B
[解析]每个苹果有4种不同的投法，所以共有46种不同的投法
３.从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是()
A.100个 B.90个 C.81个 D.72个 [答案]C
[解析]要使得点不在x轴上，则纵坐标不能为0，故纵坐标上的数字只能有9种选择，纵坐标选好后，横坐标不能与之相同，故也有9种情况，故共可确定9×9=81个符合题意的点.
４.书架上原来并排放者5本不同的书，现在要插入3本不同的书，那么不同的插法有() A.336种 B.120种 C.24种 D.18种 [答案]A
[解析]我们可以一本一本的插入，先插第一本，可在原来的5本书形成的6个空中插入，共有6种插入的方法；然后再插第二本，这时书架上有6本书形成7个空，有7种插入方法；再插最后一本，有8种插法，所以共有6×7×8=336种不同的插法.
５.某校会议室有四个进入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有________种. [答案]12
[解析]根据分步计数原理，共有4×3=12种不同的走法.
６.由三个数码组成的号码锁，每个号码可取0，1，2……９中任意一个数字，不同的开锁号码设计共有________个.
[答案]1000
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人教版高数选修2-3第一章11分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习教案(教师版)
