三年高考(2016 - )高考数学试题分项版解析专题20圆锥曲线的综合问题理（含解析）

试题解析：（Ⅰ）因为|AD|?|AC|,EB//AC,故?EBD??ACD??ADC, 所以|EB|?|ED|,故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|.

又圆A的标准方程为(x?1)?y?16,从而|AD|?4,所以|EA|?|EB|?4. 由题设得A(?1,0),B(1,0),|AB|?2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

22x2y2??1（y?0）. 43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时,设l的方程为y?k(x?1)(k?0),M(x1,y1),N(x2,y2).

?y?k(x?1)?2222由?x2y2得(4k?3)x?8kx?4k?12?0.

?1??3?48k24k2?12则x1?x2?,x1x2?.

4k2?34k2?312(k2?1)所以|MN|?1?k|x1?x2|?.

4k2?32过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y??21(x?1),A到m的距离为2,所以 kk?14k2?3|PQ|?24?()?4.故四边形MPNQ的面积 22k?1k?1222S?11|MN||PQ|?121?2. 24k?3可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).

当l与x轴垂直时,其方程为x?1,|MN|?3,|PQ|?8,四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83). 考点：圆锥曲线综合问题

【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

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2.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）

x2y232平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1?a＞b＞0? 的离心率是，抛物线E：x?2y的焦点F2ab是C的一个顶点. （I）求椭圆C的方程；

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求值时点P的坐标.

S1的最大值及取得最大S2

S1921【答案】（Ⅰ）x?4y?1;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点P的坐标为(,)

S242422【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（ii）分别列出S1

点P的坐标.试题解析：

，

S2面积的表达式，根据二次函数求最值和此时

a2?b23?（Ⅰ）由题意知，可得：a?2b. a2

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因为抛物线E的焦点为F(0,1)，所以a?1,b?122， 所以椭圆C的方程为x2?4y2?1.

（Ⅱ）（i）设P(m,m22)(m?0)，由x2?2y可得y/?x， 所以直线l的斜率为m，

因此直线l的方程为y?m22?m(x?m)，即y?mx?m22. ?设A(x，联立方程??y?mx?m21,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)2

??x2?4y2?1得(4m2?1)x2?4m3x?m4?1?0，

??0，得0?m?2?5且x4m3由1?x2?4m2?1，

因此xx1?x220?2?m34m2?1, 将其代入y?mx?m2m22得y0??2(4m2?1)， 因为

y0x??1，所以直线OD方程为y??1x. 04m4m?联立方程??y??14mx，得点M的纵坐标为y??1， ?M?x?m4即点M在定直线y??14上. ii）由（i）知直线l方程为y?mx?m2（2，

m2令x?0得y??m22，所以G(0,?2)， 13

m212m3?m2),F(0,),D(2又P(m,,)， 2224m?12(4m?1)所以S1?11|GF|m?m(m2?1)， 241m(2m2?1)2， S2?|PM|?|m?x0|?228(4m?1)S12(4m2?1)(m2?1)所以， ?S2(2m2?1)2令t?2m?1，则

2S1(2t?1)(t?1)11?????2， 22S2ttt当

S2119?，即t?2时，1取得最大值，此时m?，满足??0，

S2t242所以点P的坐标为(S21219,)，因此1的最大值为，此时点P的坐标为(,).

S224244考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用a,b,c,e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 3.【2016年高考北京理数】（本小题14分）

3x2y2已知椭圆C：2?2?1 （a?b?0）的离心率为 ，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，?OAB的面积

2ab为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N. 求证：AN?BM为定值.

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x2?y2?1；【答案】（1）（2）详见解析. 4【解析】

试题分析：（1）根据离心率为3c31222，即?，?OAB的面积为1，即ab?1，椭圆中a?b?c列2a22方程求解；（2）根据已知条件分别求出AN，|BM|的值，求其乘积为定值.

??c?3,?试题解析：（1）由题意得?a?12ab?1,解得a?2,b?1. ?a2?2?b2?c2,??所以椭圆C的方程为x24?y2?1. （2）由（Ⅰ）知，A(2,0),B(0,1)， 设P(x20,y0)，则x0?4y20?4. 当x0?0时，直线PA的方程为y?y0x(x?2). 0?2令x?0，得yM??2y02x.从而BM?1?y?1?y0M2. 0?2x0?直线PB的方程为y?y0?1xx?1. 0令y?0，得xx0N??y.从而AN?2?xx0N?2?. 0?1y0?1所以AN?BM?2?x0y1?1?2y0x 0?0?2?x220?4y0?4x0y0?4x0?8y0?44x0y0?4x0?8y0?8x??4. 0y0?x0?2y0?2x0y0?x0?2y0?2当x0?0时，y0??1，BM?2,AN?2,

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