第30讲 概 率
1．事件的分类 事件类型 必然事件 定义 一定会发生的事件 概率 1 0 不可能事件 一定不会发生的事件 在一定条件下可能发生也可能不发随机事件 生的事件 0～1之间 2.概率：一般地，表示一个随机事件A发生的可能性大小的数值，叫做这个随机事件A发生的概率． 3．概率的计算
(1)公式法：对于简单的事件直接用公式法计算即可； 事件A发生的可能的结果总数mP(A)＝；
所有可能的结果总数n
(2)列表法：当一次试验涉及两步计算时，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结m
果，再根据P(A)＝计算概率；
n
(3)画树状图法：当一次试验涉及两步或两步以上的计算时，可采用画树状图表示所有可能的结果，再根据m
P(A)＝计算概率．
n
4．几何概型求概率：与几何图形有关的概率的计算，一般是用几何图形中的面积比进行求解，计算公式为事件A可能发生的面积P(A)＝. 几何图形总面积5．频率与概率
m
(1)用频率估算概率：一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率 (这里n是总试验次数，它必
n须相当大，m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p这个常数表示事件A发生的概率，即P(A)＝p； (2)频率与概率的区别与联系
①区别：概率是用来表示一个随机事件发生的可能性的大小，只要有一个随机事件存在，就有一个概率存在，而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化；
②联系：当试验次数充分大时，频率稳定在概率的附近摆动，为了求出一个随机事件的概率，通常需要大量的重复试验，用所得的频率来估计随机事件的概率.
考点1：频率与概率
【例题1】（2019?湖北省仙桃市?7分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题． （1）填空：样本容量为 100 ，a＝ 30 ； （2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值； （2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解． 【解答】解：（1）15÷所以样本容量为100；
＝100，
B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，
所以a%＝
×100%＝30%，则a＝30；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于160cm的人数为15+30＝45， 样本中身高低于160cm的频率为
＝0.45，
所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．
归纳：利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 考点2：一步概率
【例题2抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（ ） A.
B. C.
D.
【答案】A
【分析】抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字可以是1,2,3,4,5,6六种情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，根据概率公式计算即可。
【解析】 ：抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字共出现六种等可能情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，则朝上一面的数字为2的概率是 故答案为：A,
考点3：几何概型求概率
【例题3】（2018贵阳）（3.00分）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：恰好摆放成如图所示位置的概率是故选：D．
考点4：概率的综合计算
【例题4】 (2018·承德模拟)从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张，黑桃10张，方块11张，现将这些牌洗匀背面朝上放在桌面上． (1)求从中抽出一张是红桃的概率；
(2)现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随2
机抽一张是红桃的概率不小于，问至少抽掉了多少张黑桃？
5
(3)若先从桌面上抽掉9张红桃和m(m＞6)张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．
93
【解析】(1)抽出一张是红桃的概率是＝.
9＋10＋1110(2)设至少抽掉了x张黑桃，放入x张的红桃， 9＋x2
根据题意，得≥.
9＋10＋115解得x≥3.
答：至少抽掉了3张黑桃．
(3)当m为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，
1111
当m为9，8，7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，P(最小)＝＝.
（10－7）＋1114归纳： (1)判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；
(2)不重不漏地列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等； (3)确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m； m
(4)用公式P(A)＝求事件A发生的概率．
n
=，
一、选择题：
1. （2019?浙江绍兴?4分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm） 人数
x＜160 5
160≤x＜170
38
170≤x＜180
42
x≥180 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ） A．0.85 【答案】D
【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率＝所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15． 故选：D．
2. （2019?湖北天门?3分）下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲＝3，S乙＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 【答案】C
【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误； B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲＝3，S乙＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误； C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确； D．可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生，D错误． 故选：C．
3. （2019?山东省德州市 ?4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字
2
2
2
2
B．0.57 C．0.42 D．0.15
＝0.15，
11，，1的卡片，乙422
中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ） A．
2 3B．
5 9C．
4 9D．
1 3【答案】C
【解答】解：（1）画树状图如下：
2020年中考数学考点总动员第30讲 概率
