3 角
1．角的定义
(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲． 角的有关概念：
顶点：两条射线的公共端点． 边：组成角的两条射线．
(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．
谈重点 角的理解
(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．
(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．
【例1】 下列说法错误的有( )． ①有公共点的两条射线形成的图形是角 ②从一点引出的两条射线形成的图形是角 ③角的大小与两边所画的长度有关 ④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：
① × 公共点与公共端点不同 ② √ 具备角的两个基本元素 ③ × 角的大小不因为两边的长短而改变 ④ × 角的两边是射线 答案：C
2．角的表示方法及画法 角的表示方法有四种．
(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．
(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.
(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.
(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．
释疑点 表示角时的注意事项
①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”． ②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．
③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC，就不能用∠O来表示了．否则，就会产生混乱．
3．平角、周角
(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.
(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.
(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角． 平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．
【例3】 下列说法是否正确，为什么？ ①平角是一条直线；
②钟表上的分针经过1小时形成一个周角． 分析：可根据平角和周角的形成定义判断．
解：①错．因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形，平角有顶点、边这些基本元素，而直线没有，故是错误的；
②正确．因为分针经过1小时会旋转一周，所以分针经过1小时会回到初始位置，即能形成一个周角．
4．度、分、秒的换算 (1)角的单位及意义
角的单位是度、分、秒．
意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.
(2)度、分、秒的进率及换算方法
度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.
度
?60?60分
?60?60秒
(3)度、分、秒有关的计算
度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.
在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算． 在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位． 【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________； (2)用度表示23°9′36″为__________．
解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；
?1??1?(2)先把36″化成分：??′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：??°×9.6＝0.16°，?60??60?
所以23°9′36″＝23.16°.
答案：(1)48°7′48″ (2)23.16° 【例4－2】 计算：
(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″； (3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.
分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位余数换算成低位数后，再除低位．
解：(1)13°29′＋78°37″＝91°29′37″.
(2)61°39′－22°5′32″ ＝61°38′60″－22°5′32″ ＝39°33′28″.
(3)23°53′×3＝69°159′＝71°39′. (4)107°43′÷5＝(105°＋2°43′)÷5 ＝105°÷5＋163′÷5
＝21°＋(160′＋180″)÷5 ＝21°＋160′÷5＋180″÷5 ＝21°32′36″. 5.角的计数方法
数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：
①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．
②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……
【例5】 如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．
分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．
解：以OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD； 以OB为一边且不重复的角有∠BOC，∠BOD； 以OC为一边且不重复的角有∠COD. 因此图中共有6个角，它们分别为：
∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.
6．角的应用
角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．
钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.
时针与分针的夹角的求法：
先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．
特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50.
②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加． ③时针每分钟转30°÷60＝0.5°. 【例6】 如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．
分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含几个大格和小格．
【志鸿全优设计】2013-2014学年七年级数学上册 第四章 3角例题与讲解 北师大版
