南通大学《自动控制原理》精品课程习题
第三章 线性系统的时域分析
例3-1已知四个二阶系统的闭环极点分布图如图3-1所示，试填写试表1，并简要说明理由。注：各栏分别填写 高、低；大、中、小；快、慢。
j?32组别 表3-1
项目 系 统 振荡频率 阻尼系数 （大、中、小） 衰减速度 （快、慢） （高、低） 411 低 高 低 高 低 低 中 小 中 中 中 大 慢 慢 慢 快 慢 快 0?Ⅰ 2 4?1?1 Ⅱ 3?2?3 图3-1 1 Ⅲ 4 答：二阶系统传递函数的标准形式为2?nC(s)?，从闭环极点的分布图可2R(s)s2?2??ns??n知系统为欠阻力状态，即0???1，方程有一对实部为负的共轭复根s1,2????n?j?n1??2，系统时间响应具有衰减振荡特性。系统的振荡频率?d高低取决于闭环极点的虚部大小（离实轴的距离，距离越大，振荡频率越高，距离越小，振荡频率越低）；阻力系数大小?取决于?1,2,3大小，??cos?；衰减速度快慢取决于闭环极点的实数部大小（离虚轴的距离，距离越大，衰减速度越快，距离越小，衰减速度越慢）； 例3-2 已知系统结构图如图3-2所示，试求 j?3241?2?44??101??N(s)K3?2?R(s)???2s?510++1s?1C(s)
图3-2
（1）无虚线所画的前馈控制时，求传递函数C(s)N(s)； （2）设n(t)阶越变化?（?设为定值），求C(s)的稳态变化；
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（3）若加一增益等于K的前馈控制，如试图6中虚线所示，求C(s)N(s)，并求N(s)对C(s)稳态值影响最小时K的最适值。 解：（1）无虚线所画的前馈控制时
1C(s)P?s?1?11??2s?5 N(s)?1?12?10s?6s?25s?1s?5(2) n(t)阶越变化?时，C(s)的稳态变化即为扰动稳态误差的终值esn
esn?limsEn(s)，n(t)??，N(s)? ?
s?0s1?(s?5)s?1En(s)?N(s)?n(s)? ? ?2
s1?12?10s(s?6s?25)s?1s?5?(s?5)esn?limsEn(s)?lims2? ?
s?0s?0s(s?6s?25)5(3)加一增益等于K的前馈控制 C(s)k?1?N(s)??Pk?k21?12?10K?5?20K ?s?1s?1s?5?s2s?6s?251?12?10s?1s?5当扰动稳态误差的终值esn最小时，N(s)对C(s)稳态值影响最小 esn?limsEn(s)?limss?0s?0?(s?5?20K) ?(5?20K) ?225s(s?6s?25)令esn?0 ? 5?20K?0即K?0.25
例3-3 控制系统的结构图如图3-3所示。假设输入信号为r(t)=at (a为任意常数)。证明：通过适当地调节
R(s)
Kis+1
K
s(Ts?1)C(s)
图3-3 控制系统的结构图
Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。 证明：系统的闭环传递函数为
K(Kis?1)C(s)? R(s)s(Ts?1)?K?Ts2?s?KKis?K(Kis?1)?R(s)，因此R(s)?C(s)??即 C(s)???R(s) 22Ts?s?K?Ts?s?K?当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为
?Ts2?s?KKis?aa(Ts?1?KKi)ess?lims???lim?2s?02s?0Ts?s?KTs2?s?K??s
a[Ts?(1?KKi)]a(1?KKi)?lim?s?0KTs2?s?K要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足1?KKi?0，所以Ki?1/K
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例3-4考虑一个单位负反馈控制系统，其开环传递函数为G(s)?K。希望闭环系统所有特征根位
s(Ts?1)于s平面上s??2的左侧区域，且阻尼比?不小于0.5, 试求K, T的取值范围，并在T-K的直角坐标图上画出K, T的取值范围。 解：
?(s)?C(s)KKT?2?2 R(s)Ts?s?Ks?sT?KT2?n?KT?1??0.5 即TK?1 ????2??n?1T?2TK?系统的特征方程为D(s)?Ts?s?K
要使闭环系统所有特征根位于s平面上s??2的左侧区域，令s?z?2
2D(z)?T(z?2)2?z?2?K?Tz2?(1?4T)z?4T?2?K
由劳斯判据可知
T?0 1?4T?0 4T?2?K?0
1TK综上可知：K, T的取值范围为0?T? ??1 TK?1
40.52在T-K的直角坐标图上画出K, T的取值范围略。
例3-5 考虑一个单位负反馈三阶系统，其开环传递函数G(s)的分子为常数，要求：①在r(t)?t作用下的稳态误差为1.2；②三阶系统的一对闭环主导极点为s1,2??1?j1；试求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。 解：G(s)?KK?
s(s?1?j1)(s?1?j1)s(s2?2s?2)r(t)?t K??limsG(s)?s?1K2 5 ess? ?1.2?K?2K3G(s)?K53? 2s(s?1?j1)(s?1?j1)s(s?2s?2)例3-6 某单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)?K(s?1) 32s?as?2s?1若系统以??2rads的频率作等幅振荡，试利用劳斯判据求K和a的值。
1解：由题意知系统必具有共轭纯虚根s1,2??j2，对应劳斯表中s 行各元素均为零。
系统特征方程为D(s)?s?as?(2?K)s?(1?K)?0 劳斯表为
32s3s2s11a1?K2?K?a1?K2?K1?K
s0令2?K?1?K?0，同时由s2行构成的辅助方程as2?(1?K)?0，将s1,2??j2代入上式 a?4a?1?K?0，联立可解得K?2，a?0.75
例3-7 设系统如图3-4所示，试求：①当a?0,K?8时，确定系统的阻尼比?，无阻尼自然振荡频率?n南通大学《自动控制原理》精品课程习题
和r(t)?t作用下系统的稳态误差；②当K?8,??0.7时，确定参数a值及r(t)?t作用下系统的稳态误差；③在保证??0.7,essr?0.25的条件下，确定参数a和K。
R(s)E(s)??Ks(s?2)C(s)as
图3-4
解：系统的开环传递函数为G(s)?闭环传递函数为?(s)?KK?2
s(s?2)?aKss?(2?aK)sK
s2?(2?aK)s?K2n1????0.354????8?822① 当a?0,K?8时?(s)?2， ???s?2s?82??n?2?????22?2.828?nr(t)?t K??limsG(s)?s?11K?0.2 5?4 ess?K?2?aK② 当K?8,??0.7时?(s)?8，
s2?(2?8a)s?82??n?8??n?10.7?22?1???0.245 ??a?442??n?2?8a??G(s)?88? 22s?3.96ss?2?0.7?22s13.968??0.49 5 ess?K?83.96r(t)?t K??limsG(s)?s?1③ 在保证??0.7,essr?0.25的条件下 （过程略）a?0.168和K?31.36
K。根据如下条件：①在r(t)?t的作用下，e(t)s?(s?a)的稳态值为0.25。②在r(t)?10sin4t的作用下，系统稳态输出（c(t)）的幅值为2。求K,?,a。
例3-8 反馈控制系统如图3-5所示，其中G(s)?r(t)e(t)?G(s)c(t)(s?1)图3-5
解：闭环传递函数为?(s)?
KK?
s?(s?a)?K(s?1)s??1?as??Ks?K闭环系统稳定的条件为????1 a?0 K?0
???2 a?0 K?0 aK?K?0?a?1 K?0南通大学《自动控制原理》精品课程习题
??1s??1?as?KG(s)? (，H(s)?s?1) ?(s)?R(s)????1R(s)???s(s?a)1?G(s)H(s)s?as?Ks?K??r(t)?t时，由终值定理可得
s??1?as?1aess?limsE(s)?lims??1?0.25，因此，同时e??0.25?K?4a ??1sss?0s?0s?as??Ks?Ks2Ks(s?a)系统的误差传递函数?e(s)?2，由频率特性可知
s?(a?K)s?K?e(j?)??4化简可得
j?(j??a)?(j?)2?j?(a?K)?K???4??2?a2(K??2)2??2(a?K)2??4?2 104(16?a2)222?0.04?(K?16)?16(a?K)?1600?100a 22(K?16)?16(a?K)将K?4a代入上式整理79a?32a?336?0 解得a?2.275，K?9.1
例3-9 单位负反馈控制系统如图3-6所示。
R(s)10s?102--Kbs1 s2C(s)图3-6
1）试确定使闭环稳定的反馈系数Kb的取值范围；
2）若已确定系统的一个闭环极点为?5，试求Kb的取值和其余的闭环极点； 解：1）开环传递函数为G(s)?10，闭环特征方程为 2s(s?10s?10Kb)D(s)?s3?10s2?10Kbs?10?0
劳斯表为
s3s2111010Kb10
s10Kb?1s010系统闭环稳定必须使10Kb?1?0，即Kb?0.1
2）由题意可得D(s)?(s?5)(s?as?b)?s?(a?5)s?(5a?b)s?5b?0
32同时D(s)?s?10s?10Kbs?10?0，两式比较可得
232?a?5?10?a?5?? ?5a?b?10Kb ??b?5?5b?10?K?2.7??b22另两个闭环极点可由s?as?b?s?5s?5?0解得s2??4.56，s2??0.44
例3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s)?K/s(Ts?1)。 试选择参数K及T的值以满足下列指标：①当r(t)= t时，系统的稳态误差ess≤0.02；②当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%≤30%，ts≤0.3s (△=5%)
自动控制原理第三章 线性系统的时域分析(1)
