专题五 第3讲
1．(2017·江西九江二模)《九章算术》中有鳖臑(biē nào)和刍甍(chú méng)两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段．在如图所示的刍甍ABCDEF中，已知平面ADFE⊥平面ABCD，EF∥AD，且四边形ADFE为等腰梯形，AE＝EF＝3，AD＝5.
(1)试判断四面体A-BDE是否为鳖臑，并说明理由；
(2)若AB＝2，求平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值． 解析 (1)四面体A-BDE为鳖臑．
证明过程如下：过点E作EH⊥AD，垂足为H.
∵四边形ADFE为等腰梯形，AE＝5，EF＝3，AD＝5，则AH＝1， ∴EH＝
AE2－AH2＝2，DE＝
EH2＋DH2＝25，
∴AD2＝AE2＋DE2，∴DE⊥AE. ∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
又平面ADFE⊥平面ABCD，平面ADFE∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面ADFE.
又AE?平面ADFE，∴AB⊥AE. 又DE?平面ADFE，∴AB⊥DE.
又AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，∴DE⊥平面ABE. 又BE?平面ABE，∴DE⊥BE.
∴△BDE，△ADE，△BAE和△BAD都为直角三角形， ∴四面体A-BDE为鳖臑．
(2)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(0,5,0)，E(0,1,2)，F(0,4,2)，C(2,5,0)．
设平面BDE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则DE＝(0，－4,2)，DB＝(2，－5,0)，
→→→??DE＝0，?m·?－4y1＋2z1＝0，
则?即?
→2x－5y＝0.?11??DB＝0，?m·
令x1＝5，得y1＝2，z1＝4，∴m＝(5,2,4)．
设平面CDF的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)． 又DC＝(2,0,0)，DF＝(0，－1,2)， →??DC＝0，?n·?2x2＝0，
则?即?
→?－y2＋2z2＝0.??DF＝0，?n·
→→
令z2＝1，得n＝(0,2,1)． ∴cos〈m，n〉＝
m·n
＝|m|·|n|
4＋425＋4＋16×5
＝8
， 15
8
所以平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值为.
15
2．(2017·东北三校联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PEPFPB，PC上的点，且＝＝λ.
PBPC
(1)求证：EF∥平面PAD；
1
(2)当λ＝时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
2
(3)是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，
请说明理由．
PEPF
解析 (1)证明：∵＝＝λ，
PBPC∴EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD， 而EF?平面PAD，AD?平面PAD， ∴EF∥平面PAD.
(2)∵平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，且PA⊥AC， ∴PA⊥平面ABCD. ∴PA⊥AB，PA⊥AD.
又∵AB⊥AD，∴PA，AB，AD两两垂直． 如图所示，建立空间直角坐标系．
∵AB＝BC＝1，PA＝AD＝2，
∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， 11?1
当λ＝时，F为PC中点，∴F??2，2，1?， 211→→
－，，1?，CD＝(－1,1,0)， ∴BF＝??22?设异面直线BF与CD所成的角为θ， 11
＋223→→
∴cos θ＝|cos〈BF，CD〉|＝＝. 36
×22故异面直线BF与CD所成角的余弦值为(3)设F(x0，y0，z0)，
→→
则PF＝(x0，y0，z0－2)，PC＝(1,1，－2)，
3. 3
x＝λ，??→→
又PF＝λPC，∴?y＝λ，
??z＝2－2λ，
000
→
∴AF＝(λ，λ，2－2λ)．
设平面AFD的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， →?AF＝0，?m·则?
→?AD＝0，?m·
??λx1＋λy1＋?2－2λ?z1＝0，即? ??2y1＝0，
令z1＝λ，得m＝(2λ－2,0，λ)．
设平面PCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)， →?PD＝0，?n·则?
→?CD＝0，?n·
??2y2－2z2＝0，即? ?－x2＋y2＝0，?
取y2＝1，则x2＝1，z2＝1，∴n＝(1,1,1)，
由m⊥n，得m·n＝(2λ－2,0，λ)·(1,1,1)＝2λ－2＋λ＝0， 2解得λ＝.
3
2
当λ＝时，使得平面AFD⊥平面PCD.
3
3．(2018·湖北襄阳四中模拟)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．
(1)求证：AM∥平面SCD；
(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；
(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sin θ的最大值． 解析 (1)证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)．
→→→
则AM＝(0,1,1)，SD＝(1,0，－2)，CD＝(－1，－2,0)． 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， →??n＝0，?SD·?x－2z＝0，则?即?
→???－x－2y＝0.n＝0，?CD·
令z＝1，得n＝(2，－1,1)． →→∵AM·n＝0，∴AM⊥n.
∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD.
(2)易知平面SAB的一个法向量为n1＝(1,0,0)． 设平面SCD与平面SAB所成的二面角为φ， π易知0<φ<，
2
n1·n?266
则cos φ＝?＝＝，即cos φ＝. |n|?1·63?|n1|·3∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为→
(3)设N(x,2x－2,0)，则MN＝(x,2x－3，－1)． ∵平面SAB的一个法向量为n1＝(1,0,0)， x??
sin θ＝?2－12x＋10?＝5x??
1
1?21
10×?－12×＋5?x?x
6. 3
2020高考数学核心突破《专题5 立体几何 第3讲 空间向量及其在立体几何中的应用》 (2)
