自由势场中变质量粒子的透射率研究
11
余子星，李新华，李翠翠，桑明煌
（1.江西师范大学 物理与通信电子学院，江西 南昌 330027；2.江西省星子中学，江西 九
江 332800）
1
2
摘要：本文基于分析转移矩阵方法，研究了变质量分布粒子在一维自由势场（V(x)?0）中的透射率。通过点正则变换，发现变质量分布粒子的透射谱与其等效势场的类型密切相关。当等效势为势阱，则在本征能级处，透射率达到极大。而为势垒时，如果粒子入射能量小于势垒高度，则透射率非常小，一旦粒子能量大于势垒高度，透射率则在1附近震荡。
关键词：自由势场；变质量粒子；分析转移矩阵方法；透射率；点正则变换 中图分类号：O 413.1 文献标识码：A
1 引 言
由于变质量分布问题在半导体[1]、量子点[2]、量子流体[3]、3He簇[4]、金属簇[5]等系统中研究电学性质有比较广泛的应用，所以变质量Schr?dinger方程的求解引起了人们极大的兴趣。相比质量恒定的情况，变质量系统的Schr?dinger方程求解更为复杂。通常很难找到它的解析解，但是对于某些特殊质量分布，人们可以用超对称量子力学[6]，路径积分[7]，李代数[8,9]，点正则变换（Point canonical transformation PCT）[10,11]等方法来得到其解析解。其中PCT的基本思想是将质量恒定的物理系统作为参考问题，变质量的物理系统看作目标问题，通过坐标变换在参考问题的方程与目标问题的方程之间建立联系得出等效势场。若等效势场为精确可解势，如Coulomb势, Morse势等，则变质量Schr?dinger方程能得到解析求解。
另一方面，基于分析转移矩阵方法（Analytical transfer matrix method ATMM）[12]的反射率及透射率公式广泛地应用于各种势场中粒子反射和透射的计算[13]。并发现量子反射即是子波反射[14]和在势垒两旁加上合适的势阱出现透射增强等奇特现象[15]。与这些文献[13-15]不同的是，我们考虑自由势场（即V(x)?0），并研究变质量分布对透射率的影响。
2 点正则变换（PCT）
当粒子质量依赖于空间位置时，一维Schr?dinger方程写为
?d1d?(x)?V(x)?(x)?E?(x),
dx2m(x)dx（1）
其中?(x)，V(x)，E分别为波函数，势函数和粒子能量，已取?1。令波函数
?(x)?m(x)14?(y(x))和
程
dy，则变质量分布方程转变为常质量方?m(x)12，并代入式（1）
dx1d2?(y)??Veff(y)?(y)?E?(y). （2） 22dy式（1）与式（2）具有相同的能谱，两势函数的关系为
Veff(y)?V(y)?Vm(y)21?5?dm(y)?4d2m(y)? （3）
?V(y)???.??2?232??m(y)?dy?m(y)dy??其中Veff(y)为转变后的势函数，即等效势场。V(y)为式（1）中原来的势函数，Vm(y)则是跟变质量分布有关的等效势场。本文取零势场V(y)?0，这样等效势场则完全由变质量分布决定。
3 ATMM透射率公式
对于变质量分布Schr?dinger方程式（1），对在区间?0,s?内任意连续的质量分布m(x)和势函数V(x)进行分层，当分层数足够大时，可以认为每层内质量与势均为常量。由?(x)及一阶导数??(x)在分层处连续，推得ATMM反射系数公式
s?r01?rlsexpi2?K(x)dx????0?,
r?s1?r01rlsexp?i2?K(x)dx??0??? (4)
其中 r01?m1?0?m0?1m??ml?s，分别代表始点与末点处的反射系数。根据ATMMrls?slm1?0?m0?1ms?l?ml?sq(?m??m??)是由主波波矢?(x)?2m(x)(E?V(x))和散射m(q2??2)定义，总波矢K(x)??(x)?子波波矢
q(?m??m??)两部分组成。值得一提的是，子波项中q(x)????(x)?(x)的求解22m(q??)*看似与波函数相关联，实际上并不需要求解波函数。因此反射率与透射率则可以通过R?rr和T?1?R求得。
4 透射谱及结果分析
下面选取两种变质量分布粒子，并计算其穿透自由势场的几率。第一种变质量分布函数为
m(x)?1. （5）
2(?2x2?1)2经过变换，其等效势场为
2?22Veff(y)???,cos2?y式（6）为一势阱，本征能量由下式给出
y?(?,), （6）
22??En?2??4n?51??2????, （7） ??1????2???其中上标?分别标志偶宇称与奇宇称。等效势场的本征能量列于表1。 表1 等效势场的本征能量
m(x)?1
2(?2x2?1)2宇称 偶 奇 偶 奇 偶 奇
本征能量
3 8 15 24 35 48
n 0 0 1
m(x)?1
2(?2x2?1)2宇称 偶 奇 偶
本征能量 12 32 60
（??1）
n 0 0 1 1 2 2
（??2）
0.60.50.4 ?=1 ?=2 ?=1,?=6m(x)0.30.20.10.0-10-8-6-4-20246810x
图1 第一种变质量分布图
1.00.80.6T0.40.20.00 ?=1 ?=2 ?=1,?=6102030405060E
图2 第一种变质量分布的透射谱
图1为第一种变质量分布图，其中参数取??1,??2 ，其质量分布为单垒形式。从图2中可以发现其透射率的共振峰恰好发生在等效势场的本征能量处。将式（5）稍做改动，使变质量分布为双垒结构，即m(x)?11?，其质量分2222222(?(x??)?1)2(?(x??)?1)布也画在图1中，其中参数取为??1,??6。此时图2中透射率为1的点则一分为二，可以推断其等效势场为双势阱形式，所对应的本征能级也发生分裂。
第二种变质量分布为
其等效势场则为
m(x)??21?x2.
(8)
Veff(y)??1?11??, 28?2?cosh(y?)??(9)
式（9）为势垒，是由P?schl-Teller势垒加上一个常数组成。 其势垒最高值为Vtop?14?2.
对于??1,0.5,0.2，势垒峰值分为Vtop?0.25,1,6.25。从图4中可以看出，对于粒子入射能量小于垒高区间，其透射率非常小。而一旦入射能量大于垒高，其透射率则在1附近震荡，
即出现所谓量子反射情形。
图3 第二种变质量分布图
图4 第二种变质量分布的透射谱
5．结论
本文将变质量分布粒子的透射谱与其等效势场联系起来，发现等效势为势阱，则在本征能量处，透射率达到极大。而为势垒时，在粒子入射能量小于势垒高度区间，透射率非常小，一旦粒子能量大于垒高，透射率则在1附近震荡。 参考文献：
[1] G. Bastard. Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures[M]. Les Editions de Physique, Les Ulis, 1988.
[2] L. I. Serra, E. Lipparini. Spin response of unpolarized quantum dots[J]. Europhys. Lett. 1997, 40(6): 667~672.
[3] F. Arias de saaverda, J. Boronat, A. Polls, A. Fabrocini. Effective mass of one 4He atom in liquid 3He[J]. Phys. Rev. B, 1994, 50(6):4248~4251.
[4] M. Barranco, M. Pi, S. M. Gatica, E. S. Hemandez, J. Navarro. Structure and energetics of mixed 4He-3He drops[J]. Phys. Rev. B, 1997, 56(14):8997~9003.
[5] A. Puente, L. I. Serra, M. Casas. Dipole excitation of Na clusters with a non-local energy density functional[J]. Z. Phys. D, 1994, 31(4): 283~286.
[6] B. Gonul, B. Gonul, D. Tutcu, O. Ozer. Supersymmetric approach to exactly solvable systems with position-dependent effective masses[J]. arXiv:quant-ph/0211112v2.
[7] B. P. Mandal. Path integral solution of noncentral potential[J]. Int. J. Mod. Phys. A, 2000, 15(8) :1225~1234.
[8] B. Roy. Lie algebraic approach to singular oscillator with a position-dependent mass[J]. Europhys. Lett., 2005, 72(1):1~6.
[9] S. H. Dong, J. J. Pena, C. Pacheco-Garcia, J. Garcia-ravelo. Algebraic approach to the position-dependent mass Schr?dinger equation for a singular oscillator[J]. Mod. Phys. Lett. A, 2007, 22(14) :1039~1045.
[10] O. Mustafa, S. H. Mazharimousavi. Quantum particles trapped in a position-dependent mass barrier; a d-dimensional recipe[J]. Phys. Lett. A , 2006, 358:259~261. [11] J. Yu, S. Dong. Exactly solvable potentials for the Schr?dinger equation with spatially dependent mass[J]. Phys. Lett. A, 2004, 325:194~198.
[12]Zhangqi Cao, Qing Liu, Qishun Shen, et al.. Quantization scheme for arbitrary one-dimensional potential wells [J]. Phys. Rev. A, 2001, 63(5): 054103-1~054103-4.
[13]Aihua Zhang, Zhangqi Cao, et al. Tunneling coefficients across an arbitrary potential barrier [J]. J. Phys. A: Math. Gen., 2000, 33(30):5449~5456; Ying He, Zhangqi Cao, Qishun Shen. Analytical formula of the transmission probabilities across arbitrary potential barriers [J]. J. Phys. A: Math. Gen., 2005, 38(25):5771~5780; Pengyi Su, Zhuangqi Cao, et al. Explicit expression for the reflection and transmission probabilities through an arbitrary potential barrier [J]. J. Phys. A: Math. Theor. 2008, 41(46):465301~465307.
[14]Wen Yuan, Cheng Yi, Xianping Wang, Zhangqi Cao. Quantum reflection as the reflection of subwaves [J]. Chin. Phys. B, 2010, 19(9):093402.
[15]Xianping Wang, Cheng Yin, Minghuang Sang, Manyuan Dai, Zhangqi Cao. Investigation on tunneling in optoelectronic devices with consideration of subwaves [J].Sci Chin. Ser. G, 2011, 54(3):388-392.
The transmission probability of position-dependent-mass particle
through the free potential field
YU Zi-Xing, LI Xin-Hua, LI Cui-Cui, SANG Ming-Huang
(1.College of physics & Communication Electronics, Jiangxi Normal University, Nanchang
Jiangxi 330027, China; 2. Xingzi Middle School, Jiujiang Jiangxi 332800, China)
Abstract: Based on the transmission formula derived from the analytical transfer matrix method, two cases of the transmission probabilities of the position-dependent-mass particle through the free potential field are calculated. Combined with the Point canonical transformation, we conclude that the transmission probabilities are closely connected to the structure of their effective potential. If the effective potential is a well, the transmission resonance peaks lies exactly at the eigen-energies. If the effective potential is a barrier, the transmission probabilities are very low at the below-barrier energies and oscillating around 1 at the beyond-barrier energies.
Key words: the free potential field; position-dependent-mass particle; ATMM; transmission probability; Point canonical transformation.
1
2
1
1
自由势场中变质量粒子的透射率研究
