最新高考数学必备独家专题分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.从甲地到乙地,每天飞机有5班,高铁有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有( ) A.22种 B.33种

C.300种

D.3 600种

答案 B 由分类加法计数原理知共有5+10+6+12=33种出行方案. 2.用数字0,1,2,3组成三位数的个数为( ) A.34

B.43

C.3×42 D.4×32

答案 C 因为0不能在首位,所以首位有3种取法,十位和个位各有4种取法,故共有3×4×4=3×42个三位数.

3.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( ) A.40 B.16

C.13

D.10

答案 C 分两类情况讨论:

第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面; 第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面. 根据分类加法计数原理知,共可确定8+5=13个不同的平面.

4.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯间,由一层到五层的走法有( ) A.10种 B.25种 C.52种 D.24种

答案 D 共分4步:一层到二层有2种走法,二层到三层有2种走法,三层到四层有2种走法,四层到五层有2种走法,一共有24种走法.

5.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是( ) A.7 B.10

C.25

D.52

答案 B 因为集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},所以x有2种取法,y有5种取法,所以根据分步乘法计数原理得A*B中元素的个数是2×5=10.

6.如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有( ) A.9个 B.3个 C.12个 D.6个

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答案 C 当重复数字是1时,有3×3=9个;当重复数字不是1时,有3个.由分类加法计数原理得,满足条件的“好数”有9+3=12个.

7.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( ) A.3 B.4

C.6 D.8

答案 D 当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为2时,等比数列可为4,6,9;同理,公比为2,3,3时,也有4个.故共有8个等比数列. 8.如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法有( )

3

112

A.24种 B.48种 C.72种 D.96种

答案 C 分两种情况:(1)A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D有1种,有4×3×2=24种;(2)A,C同色,先涂A,C有4种,再涂E有3种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48种.故不同的涂色方法有48+24=72种.

9.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,第一、二象限不同点的个数为 . 答案 14

解析 分两类:一是以集合M中的元素为横坐标,以集合N中的元素为纵坐标,有3×2=6个不同的点,二是以集合N中的元素为横坐标,以集合M中的元素为纵坐标有4×2=8个不同的点,故由分类加法计数原理得共有6+8=14个不同的点.

10.如图,要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况),可有 条不同的路径.

答案 9

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解析 分以下三种情况计数: (1)第一层有3×2=6种路径; (2)第二层有1种路径; (3)第三层有2种路径.

由分类加法计数原理知,共有6+1+2=9种路径.

11.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种(用数字作答). 答案 36

解析 第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的3人中选1人当文娱委员,有3种选法;第二步,从剩下的4人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有4种选法,再选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有3×4×3=36种.

12.在一次8名运动员参加的百米成绩测试中,甲、乙、丙三人要求在第三、四、五跑道上,其他人随意安排,则安排这8人进行成绩测试的方法的种数为 . 答案 720

解析 分两步安排这8名运动员:

第一步:安排甲、乙、丙三人,共有三、四、五三条跑道可安排,所以安排方式有3×2×1=6种;第二步:安排另外5人,可在余下的5条跑道上安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120种.所以安排这8名运动员的方式有6×120=720种.

13.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.

(1)某人要从这两个袋子中任取一张手机卡自己使用,一共有多少种不同的取法? (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后选择使用,问一共有多少种不同的取法?

解析 (1)任取一张手机卡,可以从10张不同的中国移动卡中任取一张,也可以从12张不同的中国联通卡中任取一张,每一类办法都能完成这件事,故应用分类加法计数原理,有10+12=22种不同的取法.

(2)从移动卡、联通卡中各取一张,则要分两步完成:从移动卡中任取一张,再从联通卡中任取一张,故应用分步乘法计数原理,有10×12=120种不同的取法.

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