课时作业(三十)
1．(2012·温州十校)若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为( ) A．12 C．22 答案 C
11a1＋a1111
解析 由题可知S11＝＝
2
B．18 D．44
a2＋a10
2
＝
11×4
＝22，故选C. 2
3ππ2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin(2a4－)＝( )
23A.
3
23 2
1B. 21D．－
2
C．－
答案 D
3π3ππ3πππ1
解析 ∵a2＋a6＝，∴2a4＝，∴sin(2a4－)＝sin(－)＝－cos＝－，
2232332选D.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4＝9，S3＝15，则数列{an}的通项an＝( ) A．2n－3 C．2n＋1 答案 C
??a4＝9
解析 由?
?S3＝15?
B．2n－1 D．2n＋3
??a1＋3d＝9
??
?3a1＋3d＝15?
??a1＝3
??
?d＝2?
，所以通项an＝2n＋1.
2
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－2am＝0，S2m－1＝39，则m＝( ) A．38 C．20 答案 C
解析 ∵am－1＋am＋1＝2am， 又∵am－1＋am＋1＝2am， ∴am＝1或0(舍去)． ∵S2m－1＝
2m－1
2
2
B．39 D．19
a1＋a2m－1
＝(2m－1)am，
∴(2m－1)am＝39，∴2m－1＝39， ∴m＝20.
5．(2012·湖南师大附中)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( )
1
A．12 C．14 答案 B 解析 由S5＝
B．13 D．15
a2＋a4·5
2
?25＝
3＋a4·5
?a4＝7，所以7＝3＋2d?d＝2，所以
2
a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13，故选B.
?1?
?是等差数列，则a11等于( ) 6．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若?
?1＋an?
A．0 1C. 3答案 A
1B. 61D. 2
11111111
解析 记bn＝，则b3＝，b5＝，数列{bn}的公差为×(－)＝，b1＝，∴bn1＋an32223126＝
n＋1
12
，即
1n＋111－n＝，∴an＝，故a11＝0. 1＋an12n＋1
7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝A．7 C.27 8
2B. 3D.21 4
Sn7na5
，则等于( )
Tnn＋3b5
答案 D
9
a1＋a9
a52a5a1＋a92解析 ＝＝＝
b52b5b1＋b99
b1＋b92
S921＝＝. T94
8．(2011·湖北文)《九章算术》“竹九节”问题：现在一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 C.47 44
B.D.67升 6637升 33
答案 B
??a1＋a2＋a3＋a4＝3
解析 设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有?
??a7＋a8＋a9＝4
，即
2
??4a1＋6d＝3???3a1＋21d＝4
13
a＝??22
，解得?7
d＝??66
1
6767
，则a5＝，故第5节的容积为升，选B.
6666
9．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)、Q(4，a4)的直线的斜率是________．
答案 4
解析 设数列{an}的公差为d，则依题意，得?
?a4＝a1＋3d＝15?
??S5＝5a1＋10d＝55
??
?a1＝3???d＝4
，故直
线PQ的斜率为
a4－a3d4－3
＝＝4.
1
10．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a10＝10，a11＋a12＋…＋a20＝20，则a41
＋a42＋…＋a50＝________.
答案 50
解析 (1)解法一 (方程组法)设数列{an}的公差为d， 则a1＋a2＋…＋a10＝10a1＋45d，a11＋a12＋…＋a20＝10a1＋145d.
??10a1＋45d＝10，即???10a1＋145d＝20，
1
d＝，??10解得?11
a＝??20.1
∴a41＋a42＋…＋a50＝10a1＋445d＝50.
解法二 (整体替换)设数列{an}的公差为d，记b1＝a1＋a2＋…＋a10，b2＝a11＋a12＋…＋
a20，b3＝a41＋a42＋…＋a50，
由等差数列的定义，可知an＋1－an＝d，
故b2－b1＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝10d＋10d＋…＋10d＝100d， 1
所以100d＝20－10，解得d＝.
10
而b3－b1＝(a41－a1)＋(a42－a2)＋…＋(a50－a10)＝40d＋40d＋…＋40d＝400d， 1
即b3－b1＝400×＝40.
10所以b3＝b1＋40＝10＋40＝50.
11．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2010，－＝2，则S2010的值为
20092007________．
答案 －2010
S2009S2007
3
解析 在等差数列{an}中，设公差为d，则＝－
Snnnna1＋n－1d2
n＝a1＋(n－1)，∴
22009
2010×2009
×2＝－2
dS2009
＝a1＋×2008－a1－×2006＝d＝2，∴S2010＝－2010×2010＋200722
S2007dd2010×2010＋2010×2009＝－2010.
122
12．方程(x－x＋m)(x－x＋n)＝0有四个不等实根，且组成一个公差为的等差数列，
2则mn的值为________．
15
答案 －
256
解析 设四个根组成的等差数列为x1，x2，x3，x4，根据等差数列的性质，则有x1＋x4
＝x2＋x3＝1，
11
∴2x1＋3d＝1，又d＝，∴x1＝－.
24135
∴x2＝，x3＝，x4＝. 44415∴mn＝(x1x4)(x2x3)＝－.
256
13．(2010·浙江文)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范围．
答案 (1)S6＝－3，a1＝7 (2)d≤－22或d≥22 15
解析 (1)由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
S5
??5a1＋10d＝5，所以?
??a1＋5d＝－8.
解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因为S5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a1＋9da1＋10d＋1＝0， 故(4a1＋9d)＝d－8，所以d≥8. 故d的取值范围为d≤－22或d≥22.
14．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn. (1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．
2
2
2
2
2
4
答案 (1)an＝22－2n (2)an＝12－n和an＝13－n
解 (1)由S14＝98得2a1＋13d＝14， 又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20. 因此{an}的通项公式是an＝22－2n，n＝1,2,3，….
S14≤77??(2)由?a11>0
??a1≥6
2a1＋13d≤11??
，得?a1＋10d>0
??a1≥6
，
2a1＋13d≤11 ①??
即?－2a1－20d<0， ②??－2a1≤－12 ③
11由①＋②得－7d<11，即d>－.
7由①＋③得13d≤－1， 1111
即d≤－.于是－ 13713又d∈Z，故d＝－1.④ 将④代入①②得10 an＝12－n和an＝13－n，n＝1,2,3，…. 15．已知等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式． (2)令bn＝ Snn＋c(n∈N)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在， * 求出c的值；若不存在，请说明理由． 分析 本题第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a1和公差d的值，由条件 a2·a3＝45，a1＋a5＝18建立方程组不难求得；本题第(2)问是构造一个等差数列{bn}，可考 虑利用等差数列的定义，研究使bn＋1－bn(n∈N)为一个常数时需要满足的条件． 解析 (1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d>0， ??a2a3＝45， 则由? ??a1＋a5＝18， * ?a1＋2d＝45，?a1＋d?得??a1＋a1＋4d＝18. ??a1＝1， 解得? ??d＝4. ∴an＝4n－3(n∈N)． * 5
高考数学一轮复习课时作业(三十) 理 新人教版
