第十三章选修系列 选修4-4坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
1．坐标系 (1)伸缩变换
?x（λ>0），?x′＝λ·
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：?的作用下，点P(x，y)对应到
y（μ>0）?y′＝μ·?
点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，
???x＝ρcos θ，?
则? ?y?y＝ρsin θ，?tan θ＝（x≠0）Ｗ.?
中取相同的长度θ)，
ρ2＝x2＋y2，
x?
3．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 4．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：
2ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r＝0.
导师提醒
熟记几种简单曲线的极坐标方程
曲线 圆心在极点，半径为r的圆 圆心为(r，0)，半径为r的圆 图形 极坐标方程 ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ (－π圆心为(r，)，半径为r的圆 2ππ≤θ<) 22ρ＝2rsin θ (0≤θ<π) (1)θ＝α(ρ∈R)或 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝π＋α(ρ∈R)， (2)θ＝α和θ＝π＋α ρcos θ＝a 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 π过点(a，)，与极轴平行的直线 2
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
ππ(－<θ<) 22ρsin θ＝a (0<θ<π) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( ) π
(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是?2，－?.( )
3??(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝B．ρ＝
π1
，0≤θ≤ 2cos θ＋sin θ
π1
，0≤θ≤
4cos θ＋sin θ
π 2π 4
1
，由0≤x≤1，得
sin θ＋cos θ
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
解析：选A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝
0≤y≤1，所以θ∈?0，
??π?
?.故选A. 2? 在极坐标系中，已知点P?2，
?
π?，则过点P且平行于极轴的直线方程是( ) 6?A．ρsin θ＝1 C．ρcos θ＝1
解析：选A.先将极坐标化成直角坐标表示，P?2，B．ρsin θ＝3 D．ρcos θ＝3
??
ππ?
?转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos 6＝3，y＝ρsin 6?
π
θ＝2sin ＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平等于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.
6
在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．
解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?1，－
法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos?θ＋π
答案：?1，－?
2??
π2π
在极坐标系中A?2，－?，B?4，?两点间的距离为________．
3?3???解析：法一(数形结合)：在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝6.
法二：因为A?2，－所以|AB|＝答案：6
|OA|＋|OB|＝
?
?π??. 2?
??π?π??
?，知圆心的极坐标为?1，－?. 2?2??
?
?π??2π?
?，B?4，?的直角坐标为A(1，－3)，B(－2，3?3??
23)．
（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.
平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)
?x′＝2x，
1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换?后的图形．
1
?y′＝3y
(1)5x＋2y＝0； (2)x2＋y2＝1.
1
??x＝2x′
解：伸缩变换?，则?，
1
?y′＝3y?y＝3y′
(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线．
1x′＝x
2
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