高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.3等比数列及其
前n项和教案理（含解析）新人教A版
§6.3 等比数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 考情考向分析 主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.属于中低档题. 1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·q3.等比中项
如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－mn－1
.
(n，m∈N＋).
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
?1??an?2
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，??，{an}，{an·bn}，??仍是等
?an?
?bn?
比数列.
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为q.
k
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
a1?1－qn?a1－anq当q≠1时，Sn＝＝.
1－q1－q6.等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q.
概念方法微思考 1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？
提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数. 2.任意两个实数都有等比中项吗？
提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项. 3.“b＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？
提示 必要不充分条件.因为b＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b＝ac.
2
2
2
n 题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )
(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.( × )
a?1－an?
(4)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × )
1－an(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( × ) 题组二 教材改编
1
2.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.
41答案 2
a5113
解析 由题意知q＝＝，∴q＝.
a282
3.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( ) A.8B.9C.10D.11
答案 C
解析 由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10. 题组三 易错自纠
4.若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则1
答案 －
2
解析 ∵1，a1，a2，4成等差数列， ∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q， 则b2＝1×4＝4，且b2＝1×q>0，∴b2＝2， ∴
2
2
a1－a2
的值为________. b2
a1－a2－?a2－a1?1
＝＝－. b2b22
S5
S2
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________. 答案 －11
解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q＝0. ∴q＋8＝0，∴q＝－2，
3
4
S5a1?1－q5?1－q∴＝· S21－qa1?1－q2?
1－q1－?－2?＝＝－11. 2＝1－q1－4
6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝2MB) 答案 39
解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2，
则2＝8×2＝2，∴n＝13. 即病毒共复制了13次. ∴所需时间为13×3＝39(秒).
n10
13
10
5
5
n 题型一 等比数列基本量的运算
1
1.(2019·沈阳模拟)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
411
A.B.C.1D.2 82答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q， 由题意知a3a5＝4(a4－1)＝a4， 则a4－4a4＋4＝0，解得a4＝2， 1a43
又a1＝，所以q＝＝8，
4a11
即q＝2，所以a2＝a1q＝.
2
2.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解 (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝q由已知得q＝4q，
解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)
n－14
2
2
2
n－1
.
或an＝2
n－1
n－1
(n∈N＋).
n(2)若an＝(－2)
1－?－2?
，则Sn＝.
3
由Sm＝63得(－2)＝－188， 此方程没有正整数解. 若an＝2
n－1
m，则Sn＝2－1.
mn由Sm＝63得2＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.
思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论. 题型二 等比数列的判定与证明 n例1 已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3，且a1＝8. (1)证明：数列{an－3}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝n，求数列{bn}的前n项和Tn.
3解 (1)因为an＋1＝5an－2·3，
nnan
所以an＋1－3
n＋1
＝5an－2·3－3
nn＋1
＝5(an－3)，
n又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，
所以数列{an－3}是首项为5、公比为5的等比数列. 所以an－3＝5， 所以an＝3＋5.
nnnnn?5?n(2)由(1)知，bn＝n＝n＝1＋??，
33?3?
5??5?n?1－????3?5?15?25?n?3??5n＋15???则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋??＋1＋??＋…＋1＋??＝n＋＝n＋n－. 52·32?3??3??3?
1－3思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法： (1)定义法：若
an3n＋5nan＋1
＝q(q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列； an2
(2)等比中项法：若an＋1＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，则数列{an}是等比数列； (3)通项公式法：若an＝Aq(A，q是不为零的常数)，则数列{an}是等比数列.
跟踪训练1 (2018·黄山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
??Sn＋1＝4an＋2， ①又?
?Sn＝4an－1＋2?n≥2?， ②?
n
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2). ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2∴
n－1
，
an＋1an3
2
n＋1
－n＝，
24
?an?13
故?n?是首项为，公差为的等差数列.
24?2?
an133n－1
∴n＝＋(n－1)·＝， 2244
故an＝(3n－1)·2
n－2
.
高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.3等比数列及其前n项和教案理(含解析)新人教A版
