?Dd???d?CE?CD??VT??2??E??dT??dT2?? ?
D2?d???VT3??. （6） ??dT?2.18 试证明磁介质CH与CM之差等于
??H???M?CH?CM??0T????
??T?M??H?T2解：当磁介质的磁化强度有dM的改变时，外界所做的功是
?W?V?0HdM, （1）
式中H是电场强度，V是介质的体积.不考虑介质体积的改变，V可看作常量. 与简单系统?W??pdV比较，在变换
p???0H,V?VM （2）
下，简单系统的热力学关系同样适用于磁介质. 式（2.2.11）给出
??p???V?Cp?CV?T????. （3）
??T?V??T?p在代换（2）下，有
??H???M?CH?CM???0T???? （4） ?T?T??M??H式中CH是磁场强度不变时介质的热容量，CM是磁化强度不变时介质的热容量. 考虑到
??M???T???H?????????1 （5） ?T?H?M??H??M??T（5）式解出???M??,代入(4)式,得 ??T?H??H???M?CH?CM??0T???? ?T?H??M??T2
2.19 已知顺磁物质遵从居里定律：
M?CH(居里定律). T若维物质的温度不变，使磁场由0增至H，求磁化热.
解：式（1.14.3）给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量Q与其在过程中的熵增加值?S满足
Q?T?S. （1）
在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化率为（式（2.7.7））
??S???m???0????. （2） ??H?T??T?H如果磁介质遵从居里定律
易知
所以
CV?0H??S???. （5） ??2?HT??TCV??m???H, （4） ??2?TT??Hm?CVH?C是常量?, （3） T在可逆等温过程中磁场由0增至H时，磁介质的熵变为
吸收的热量为
2.20 已知超导体的磁感强度B??0(H?M)?0，求证： （a）CM与M无关，只是T的函数，其中CM是磁化强度M保持不变时的热容量.
（b）U??CMdT?（c）S???0M22?U0.
CV?0H2Q?T?S??. （7）
2T?S??H0CV?0H2??S?. （6） ??dH??2?H2T??TCMdT?S0. T解：先对超导体的基本电磁学性质作一粗浅的介绍.
1911年昂尼斯（Onnes）发现水银的电阻在4.2K左右突然降低为零，如
图所示. 这种在低温下发生的零电阻现象称为超导电性. 具有超导电性质的材料称为超导体. 电阻突然消失的温度称为超导体的临界温度. 开始人们将超导体单纯地理解为具有无穷电导率的导体. 在导体中电流密度Je与电场强度E满足欧姆定律
E?Je. （1） σ?B, （2） ?t如果电导率???，导体内的电场强度将为零. 根据法拉第定律，有
V?E??因此对于具有无穷电导率的导体，恒有
?B?0. （3） ?t下图（a）显示具有无穷电导率的导体的特性，如果先将样品降温到临界温度以下，使之转变为具有无穷电导率的导体，然后加上磁场，根据式（3）样品内的B不发生变化，即仍有
B?0
但如果先加上磁场，然后再降温到临界温度以下，根据式（3）样品内的B也不应发生变化，即
B?0.
这样一来，样品的状态就与其经历的历史有关，不是热力学平衡状态了. 但是应用热力学理论对超导体进行分析，其结果与实验是符合的. 这种情况促
使人们进行进一步的实验研究.
1933年迈斯纳（Meissner）将一圆柱形样品放置在垂置于其轴线的磁场中，降低到临界温度以下，使样品转变为超导体，发现磁通量完全被排斥于样品之外，即超导体中的B恒为零：
B??0?H?M??0. （4）
这一性质称为完全抗磁性. 上图（b）画出了具有完全抗磁性的样品在先冷却后加上磁场和先加上磁场后冷却的状态变化，显示具有完全抗磁性的超导体，其状态与历史无关.
1953年弗·伦敦（F.London）和赫·伦敦（H.London）兄弟二人提出了一个唯象理论，从统一的观点概括了零电阻和迈斯纳效应，相当成功地预言了超导体的一些电磁学性质.
他们认为，与一般导体遵从欧姆定律不同，由于零电阻效应，超导体中电场对电荷的作用将使超导电子加速. 根据牛顿定律，有
mv?qE, （5）
式中m和q分别是超导电子的质量和电荷，v是其加速度. 以ns表示超导电子的密度，超导电流密度Js为
其中
Λ?m. （8） nsq2Js?nsqv. （6）
综合式（5）和式（6），有
?1Js?E, （7） ?tΛ将式（7）代入法拉第定律（2），有
?B??????ΛJs???,
?t??t?或
????(ΛJs)?B??0. （9） ?t??(ΛJs)??B, （10）
式（9）意味着??(?Js)?B不随时间变化，如果在某一时刻，有
则在任何时刻式（10）都将成立. 伦敦假设超导体满足式（10）. 下面证明，在恒定电磁场的情形下，根据电磁学的基本规律和式（10）可以得到迈斯纳效应. 在恒定电磁场情形下，超导体内的电场强度显然等于零，否则Js将无限增长，因此安培定律给出
对上式取旋度，有
??(??B)?0??Js????B??0Js. （11）
?0ΛB, （12）
其中最后一步用了式（10）. 由于
??(??B)??(??B)??2B.
而??B?0，因此式（12）给出
?2B??0B （13） ?式（13）要求超导体中B从表面随浓度很快地减少. 为简单起见，我们讨论一维情形. 式（13）的一维解是
得到
ΛB?e??0Λx. （14）
式（14）表明超导体中B随深度x按指数衰减.如果ns?1023cm，可以
?0?2?10?6cm.
这样伦敦理论不仅说明了迈斯纳效应，而且预言磁屏蔽需要一个有限的厚度，磁场的穿透浓度是10-6cm的量级. 实验证实了这一预言. 综上所述，伦敦理论用式（7）和式（10）
??Js?B, （15） ?t??(?Js)??B
大学热力学与统计物理答案第二章
