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有理数知识总结
???概念数轴???、利用数轴比较数的大小??运用：在数轴上表示数???相反数?有关概念????概念????绝对值?运用：几何意义、比较 有理数?数的大小?????近似数；精确度??法则?加、减、乘、除的运算???有理数的运算?混合运算;运算顺序??乘方;意义；科学计数法???1. 相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。
2. 正数和负数
1，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 23像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。
4像+
【注】0既不是正数也不是负数。 3. 有理数
（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。
分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类
1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类
正整数 正整数 整数 0 正有理数
有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数
分数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限小数、无限循环小数也叫做分数。 4. 数轴
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。
2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。
（2）在数轴上比较有理数的大小
1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
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5. 相反数
（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。
（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）
（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简
多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6. 绝对值
（1）在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值。
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．
?a,a?0?a??0,a?0
??a,a?0?（3）绝对值的主要性质
一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． （4）两个相反数的绝对值相等。
（5）运用绝对值比较有理数的大小
两个负数，绝对值大的反而小.
（6）比较两个负数的方法步骤是：
1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小；
3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7. 有理数的加法 （1）有理数加法法则
1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3）互为相反数的两个数相加得零。 4）一个数与0相加，仍得这个数。 （2）有理数加法的运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 8. 有理数的减法
减去一个数等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b) 9. 有理数的加减混合运算
（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8，正
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10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。 （2）适当的应用加法运算律。 10. 有理数的乘法
（1）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。
几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 （3）乘法运算律 乘法交换律： ab=ba
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac
11. 有理数的除法
（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 【注】0没有倒数。
（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 【注】0不能做除数。
1a?b?a?(b?0)
b（3）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不等于的数，都得零。
12. 有理数的乘方
（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。
a?a?a?????a?an
n 个
（2）乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。 （3）有理数乘方法则：
正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。
13. 科学记数法
（1）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。
（2）一个大于0的数就记成a?10的形式。其中1?a?10,n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。
n,.
14. 有理数的混合运算
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。
（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 15. 近似数和有效数字
（1）准确数：完全符合实际的数。
（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。
（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 （4）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。
【例题精讲】
一、有理数“0”的作用：
作用 表示数的性质 表示没有 表示某种状态 表示正数与负数的0非正非负，是一个中性数 界点 二、数轴与数的关系
例1．下列语句中正确的是（ ）
举例 0是自然数、是有理数、是整数 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 00C表示冰点 A.数轴上的点只能表示整数 B.数轴上的点只能表示分数
C.数轴上的点只能表示有理数 D.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来.
三、相反数、倒数
例2、已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，e?0且|e|?1，那么
(?ab)2009?(c?d)2008?e2007的值为 。
例3、知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，b的形式，且x的绝对值为2，求(a?b)
2008b，a?(ab)2009?(a?b?ab)?x2的值
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四、绝对值
例4、若a?3+|2b+5|=0,计算2a-b的值.
例5、若a?b，化简b?a?1?a?b?5?___________. 例6、a，b在数轴上的位置如图
（1）化简： |a?b|?______ |b?1|?_________。（2）比较大小：a?1【利用几何意义求解】
例7、代数式|x?2|?|x?3|的最小值为 。
五、有理数的运算
1?1?1???； 例8、（1）?3?32?(?3)2?1?3； （2）1?1?1?1??1?????32?3??4?5???0；a?ba?b。
六、科学记数法→近似数及有效数字
例9、用科学记数数表示：1305000000= ；－1020= . 例10、水星和太阳的平均距离约为57900000 km用科学记数法表示为 . 例11、近似数3.5万精确到 位，有 个有效数字. 例12、近似数0.4062精确到 位，有 个有效数字.
例13、3.4030×10保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .
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