rd?r?2r解：建立自然坐标系有：a?e??en
dt?d??2?ds?dsd???2k??2k?且：??2k??2k
dsdt??dtdtdtd?d????2kd?
积分得：??ue?2kV?（代入?0?u） 又因为：y2?2px在(p2,p)点处斜率： k1?dy1dx?x?p2d2pxp?dx2xx?p2?1
在(p2,?p)点处斜率： k2?dy2dx??x?p2d2pxp??dx2xx?p2??1
故：V??arctank2?arctank1?
2? 即：??ue?k?
12 竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升得时间比下落返回至原地点得时间短。
解：设空气阻力为f，且小球初速为?，质量为没，则有：
上升时间：t1?上升高度：h??g?fm)
1g2?f2?22(g?fm下落时间：t2?2ha??02
m2f2g?t1m?m?1 得：?t2(g?f)g?fmm2fg?2 即得证。
13 质量为m得质点自离地面h高度处下落。若空气阻力与质点速度得平方成正比，比例常数为C，试讨论此质点下落过程中得运动状况。
&解：设加速度为a，速率为?，则：ma?mg?C?2?m?
得：
d?2g?C??dt积分并代入t?0时??0有： mmg(1?C21?e2tgCm??&? a??(1?e2tgC)
4g2tgCm2?0 )gC2tgC&?8ge amgC(1?e2tmm?3)(1?em)?0
知：质点一直在做向下得变加速运动，且加速度越来越小。 14 将一质量为m得质点以初速度?0与水平线成?角抛出，此质点受到得空气阻力就是其速度得mk倍，这里k就是常数。试求当质点得速度与水平线之间得夹角又为?角度时所需时间。
&&?解：依牛顿第二运动定律有：m?x??mk?x,my??mg?mk?y
积分并代入初始条件：t?0时：?0x??0sin?,?0y??0cos?
解得：?x??0cos?e?kt,?y?(?0sin??)e?kt?
?y当再次夹角为?时：??tan?
?xgkgk可解出：t?ln(1?1k2?0ksin?) g 15 一质量为m得质点用一长度为l得不可伸长得轻绳悬挂于一小环
上，小环穿于一固定得水平钢丝上，其质量为3m2。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝得水平方向给质点以大小为
2gl得初速度，证明若轻绳与铅垂线之间得夹角就是?时，小环在钢
丝上仍不滑动，则钢丝与小环间得摩擦系数至少就是1得张力为FT?3mgcos?。
解：依 m?2?m?02?mgl?1?cos??
得：m?r?2mgcos?
2m?则：FT?23，此时绳中
1212r?mgcos??3mgcos?
??FTP3mgcos?sin?sin2?2tan????2233cos2??23?tan?2FT??mg3mgcos??mg22
d?2(3?tan2??2tan2?)??0 又因为：
dtan?(3?tan2?)2得：tan??3 故：tan??3 即得证。
16 滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧得一个端点联结，弹簧得另一端挂一质量为m得质点，如图所示。当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率?0下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧得最大伸长及弹簧中得最大张力。已知弹簧作用力为W时得静止伸长?0。 解：（注：此题中W?mg）设最大伸长为?m有：k?121212mg?0?W?0
依能量守恒：k?m2?k?02?m?02?mg??m??0? 解得：?m??0??0?0g 则：FTm?k?m?W??1??0?0?1? g?0?? 17 两个相同得轻质弹簧，劲度系数为k，自然长度就是l0，在它们中间竖直地串接一质量为m得质点。弹簧得另外两端点分别固定于A点与B点，如图所示，A、B间得高度差就是3l02。设开始时质点静止于AB得中点，求质点得运动规律。 17解：质点运动时势能
l0?1?l01?kl2?2 V??mgx?k?x???k???x???mgx?kx?2?4?2?416?dV??mg?2kx?0 dxmg得:x0?
2kdV&&且运动时受力满足：F???mg?2kx?mx
dx22在平衡时：
代入初始条件: t?0,x?0,A?x0
?2k??mg?可解得：x? ?1?cos??tmg????2k????? 18 两个质量都就是m得质点A与质点B用一自然长度为l0得轻质弹簧相连，置于一光滑水平桌面上，如图所示。弹簧得劲度系数为k。两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点B沿AB方向受到一大小为kl0得恒力作用。分别求处质点A与质点B得运动规律。
&&?A?k?xB?xA?l0?LL*1?FA?mx18解：依受力分析知 ?
&&?B?k?2l0?xA?xB?LL*2?FB?mxkl0 mkl积分得: xA?xB?0t2?l0
2mkkl02&代入*1得：&x?(t?2xA) Am2m&&&x *1+*2得： &A?xB?l0?2t2?cos?t?1) 积分得：xA?(42&同理：&xB?kkl02(t?3l0?2xB) m2ml0?2t2?cos?t?5) 积分得：xB?(42式中??2k。 m另解：先将AB及弹簧瞧成一系统，其质心做一受恒力kl得作用，再将A与B 理解成绕质心做周期性振动，可得A得运动规律为质心运动与A振动得合运动，B亦然。计算亦很简单！
19 一质点从一光滑圆柱表面最高处，自静止下滑，如图所示。问质点滑至何处将脱离圆柱表面？
12&?mgr1?cos??mr?2???解：将脱离时滑过相应角度为?，此时满足：? 22?mgr?&?mgrcos??可解得：??arccos2 3 20 一钢丝弯成尖端朝上得摆线：x?a(??sin?),z?a(1?cos?)，上面穿有一质量为m得小环。今若小环在钢丝得最低处获得大小为?0得初速度，开始沿摆线滑动。求出当小环得速度与水平线成?角度时，小环得速率?。已知小环与钢丝得摩擦系数为?。
解：小环运动时，依受力分析知： 其
对钢丝得正压力为 N?mgcos??m??
dz&zsin??d?????cot 又因为：tan???&dxx1?cos?2d?2得：??2???
陈世民理论力学简明教程(第二版)课后答案
